整除分块

整除分块

问题提出

最近在学习莫比乌斯反演，发现基本上所有有关莫比乌斯反演的题目，都会涉及一个小知识点整除分块

所以在学习毒瘤莫比乌斯之前学习一下整除分块是很有必要的

然后我们就先来学习这个问题

我们来讨论一个有趣的问题

求(sum_{i=1}^N lfloor frac Ni floor ,N leq 10^{12})

问题解决

显然不能直接做

经过一番冷静推理暴力打表，我们发现以下性质：

·1.(large lfloor frac Ni floor)向下取整最多只有(2sqrt{N})种取值

证明：对于(ile sqrt{N}),只有(sqrt{N})种，对于(i>sqrt{N},large{frac Ni}<sqrt{N}),也只有(sqrt {N})种取值，共计(2 sqrt{N})种取值

·2.设(large lfloor frac N{i'} floor)与(large lfloor frac N{i} floor)相等，则(i')的最大值(max(i')= large left lfloor frac N{left lfloor frac Ni ight floor } ight floor)

证明：设(large{ lfloor frac Ni floor}=k)，于是可以写成(ki+p=N,1le p<i)的形式，若有$$large{lfloor frac N{i+d} floor}=k$$，于是$$k(i+d)+p'=N$$ ，即有(p'=p-kd)，则(能得到的最大值为d能得到的最大值为 large lfloor frac pk floor)

于是有

(egin{aligned}i'&=i+d_{max} \ &=i+lfloor frac pk floor \&=i+left lfloor frac {N ;mod; i}{lfloor frac Ni floor} ight floor \ &=i+left lfloor frac {N-lfloor frac Ni floor i}{lfloor frac Ni floor} ight floor \ &=left lfloor i + frac {N-lfloor frac Ni floor i}{lfloor frac Ni floor} ight floor \ &=left lfloor frac{lfloor frac Ni floor i}{lfloor frac Ni floor} + frac {N-lfloor frac Ni floor i}{lfloor frac Ni floor} ight floor \ &=left lfloor frac N{lfloor frac Ni floor} ight floor quad quadBoxend{aligned})

然后，设两个指针L,R，L的初始值为1，每次令(large R=left lfloor frac N{lfloor frac NL floor} ight floor)将(large (R-L+1)cdot lfloor frac NL floor)由于(large lfloor frac NL floor)只有(2 sqrt{N})种取值，且单调递减，这最多只有(2 sqrt{N})个取值不同的，时间复杂度(O（sqrt{N}）).

for(int l=1,r;l<=n;l=r+1)
{
    r=n/(n/l);
    ans+=(r-l+1)*(n/l);
}

与其他函数的联系

• 有时候，可能推出来的式子不一定就是一个很裸的整除分块，可能会与某些积性函数相乘，如：μ,φ...... 这时候，我们就需要对这些函数统计一个前缀和。因为，每当我们使用整除分块跳过一个区间的时候，其所对应的函数值也跳过了一个区间。所以此时，就需要乘上那一个区间的函数值。
• (当然，如果当出题人想要考考你的数论能力的话，这时就不是统计前缀和这么简单了。可能(O(N))线筛都会TLE，那么我们就需要杜教筛了)
• (PS:关于杜教筛的内容，我没过多久就会写，那时候再填坑吧！)