条件概率，全概率公式，贝叶斯公式
条件概率：在另外一个事件 B 已经发生的条件下，事件 A 发生的概率叫做在 A 对于 B 的条件概率，记作 (p(A|B))。显然(p(AB)=p(A|B)p(B))。于是有：(p(A|B)=frac{p(AB)}{p(B)})。
独立事件：若事件 B 是否发生对事件 A 的概率没有影响，即(p(A|B)=p(A))，则称事件 A, B 相互独立 (为独立事件)。将前面那个式子代入，可以发现若两个事件A和B独立，则(p(AB)=p(A)p(B))。换句话说，就是当有A的时候，B事件发生的概率等于无A的时候发生的概率((frac{p(AB)}{p(A)}=frac{p(B)}{p(Omega)}))。用维恩图来理解：
第一幅图表示A，B独立，即(p(AB)=p(A)p(B))。而如果把B往内移动一点，显然在有A事件发生的情况下，B事件发生的几率更大了((p(AB)/p(A)>p(B)/p(Omega)))。因此A，B便不是独立的了。把B往外移动一点也是如此。
注意独立事件和互斥事件的概念不同。互斥表示(p(AB)=0)，独立表示(p(AB)=p(A)p(B))。也就是说，互斥表示两个事件不能同时出现，独立表示两个事件没有关系。两个事件不能同时出现，表示两个事件是有关系的，也就是说互斥一定不独立。
完备事件组：若事件(A_1,A_2,...,A_n)满足((i)A_icap A_j=emptysetquad(ii)a_1cap ...cap a_n=Omega)，那么它们就是完备事件组。
全概率公式可以轻松推出：(p(A)=sum_{i=1}^{n}p(AB_i)=sum_{i=1}^{n}p(A|B_i)p(B_i))（相当于一张大饼）。也有一些特殊形式：(p(A)=p(AB)+p(Aar{B})=p(A|B)p(B)+p(A|ar{B})p(ar{B}))。
有 n 个怪物，每只怪物只能活一天，但是每个怪物在那天有 pi 的概率繁殖 i 个怪物 (0 ≤ i < l，且(sum_{i=0}^{l-1}p_i=1))，求 (n 个怪物时为第 0 天) 第 m 天所有怪物都挂的概率。(m, l ≤ 1000)。
我们来看这道题：第m天所有怪物都挂的概率是第m天一个怪物系（也就是一个怪物和它的儿子）挂的概率的n次。以下讨论在一个怪物系中的情况：
记第k天所有怪物都挂的概率为(f_k)，可以知道(f_1)就是第0天啥都不繁殖的概率，即(f_1=p_0)
考虑k>1的情况，令事件A为所有怪物在第k天全挂，事件(B_i)为第0天怪物繁殖i个，可以看出(B_0, B_1, ..., B_{l-1})是(Omega)的一个完备事件组。
可以看出，(p(B_i)=p_i)，事件(A|B_i)表示第一天有i个怪物，结果到第k天全挂了，相当于一直第0天有i个怪物，结果到第k-1天全挂了。这是一个子问题，相当于(f_{k-1}^i)！所以根据全概率公式可得：$$f_k=p(A)=sum_{i=0}{l-1}p(A|B_i)p(B_i)=sum_{i=0}{l-1}f_{k-1}^ip_i$$
这个做法的精髓在于通过全概率公式发现重复子问题。
1 #include <cstdio>
2 using namespace std;
3
4 const int maxday=1005, maxbirth=1005;
5 int t, n, k, m;
6 double f[maxday], p[maxbirth];
7
8 int main(){
9 scanf("%d", &t);
10 for (int tt=0; tt<t; ++tt){
11 scanf("%d%d%d", &n, &k, &m);
12 for (int i=0; i<n; ++i)
13 scanf("%lf", &p[i]);
14 f[1]=p[0];
15 for (int i=2; i<=m; ++i){
16 double now=1; f[i]=0;
17 for (int j=0; j<n; ++j, now*=f[i-1])
18 f[i]+=now*p[j];
19 }
20 double ans=1;
21 for (int i=0; i<k; ++i) ans*=f[m];
22 printf("Case #%d: %.7lf
", tt+1, ans);
23 }
24 return 0;
25 }
全概率公式有一个好～基～友，叫做贝叶斯公式。全概率公式揭示了一般概率和条件概率之间的关系，而 Bayes 公式揭示了几个条件概率之间的关系：
(p(B_k|A)=frac{p(A*B_k)}{p(A)}=frac{p(A*B_k)}{sum_{i-1}^np(A*B_i)}=frac{p(A|B_k)p(B_k)}{sum_{i=1}^np(A|B_i)p(B_i)})
（好累TwT……）
注意最后面那个分数还可以约来着。