组合数恒等式
本蒟蒻太弱了。。为了不误导。。这个博客仅供个人使用。。
排列数：在n个元素中选m个元素作为排列，排列数显然是(n^{underline m}=frac{n!}{(n-m)!})。
组合数：在n个元素中选出m个作为集合，不同的集合数为(inom{n}{m})。由于一个集合对应m个排列，一个排列唯一对应一个集合，(inom{n}{m}=frac{n^{underline m}}{m!}=frac{n!}{m!(n-m)!})。
重复组合数：选m次，每次在n个元素中选出一个丢到可重集中，重复组合数就是不同的可重集数。我们可以想象n个格子，每次在n个格子中丢进一个数，总共丢m个数，这样的方案数就是重复组合数。利用插板法，n-1个板和m个数一起排列的方案数是((m+n-1)!)。又由于小球之间，隔板之间都是不区分的，因此排列数要除以(m!(n-1)!)，答案是(frac{(m+n-1)!}{m!(n-1)!}=inom{m+n-1}{m})。
组合数性质公式：
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(inom{n}{m}=inom{n}{n-m})。这是由于，在n个元素中任选m个元素所构成的集合，总是对应另外n-m个元素组成的集合。因此，n选m的集合数就是n选n-m的集合数。
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(inom{n+1}{m}=inom{n}{m}+inom{n}{m-1})。n+1个元素中选m个数构成的集合有两种，一种是包含第n+1个元素的，数量为(inom{n}{m-1})。另一种是不包含第n+1个元素的集合，数量为(inom{n}{m})。因此，集合的总数量是(inom{n+1}{m})。
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一些(inom{n}{m})递推到上一个/下一个组合数的公式，qwq不写了。
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底不变顶变化：(inom{n+1}{r+1}=inom{n}{r}+inom{n-1}{r}+...+inom{r+1}{r}+inom{r}{r})。可以感性理解一下：先钦定第n+1个元素必选，那么剩下的集合数是(inom{n}{r})。再钦定第n+1个元素不选，第n个元素选，那么剩下的集合数就是(inom{n-1}{r})……以此类推即可。
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顶不变底变化：(inom{n}{0}+inom{n}{1}+...+inom{n}{n}=2^n)。用二项式定理((a+b)^n=sum_{i=0}^ninom{n}{i}a^ib^{n-i})，那么((1+1)^n=sum_{i=0}^ninom{n}{i}=2^n)。形象的理解一下，可以理解为有n个0/1数，总共有(2^n)个状态，每个状态，相当于在n个数中选值为1的数。
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(A=inom{n}{1}+inom{n}{3}+inom{n}{5}+...=B=inom{n}{0}+inom{n}{2}+inom{n}{4}+...)。用二项式定理：(A+B=(1+1)^n,A-B=(1-1)^n=0)，因此可得(A=B=2^{n-1})。
P.S：从这里可以看出二项式定理和组合数有着密切（？）联系。
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(0inom{n}{0}+1inom{n}{1}+2inom{n}{2}+...+ninom{n}{n}=n2^{n-1})。用类似于高斯求和的方法就行了。
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类似于卷积的形式：(sum_{i=0}^rinom{m}{i}inom{n}{r-i}=inom{n+m}{r})。相当于分别从n个元素和m个元素中取r个元素的一个组合，各项之和就是所有选法。它还有推论：(sum_{i=0}^ninom{n}{i}^2=inom{2n}{n})。