中国剩余定理

中国剩余定理

今有物不知其数，三三数之剩二（除以3余2），五五数之剩三（除以5余3），七七数之剩二（除以7余2），问物几何？

这是《孙子算经》中的一个问题，称为“孙子问题”。这个问题的一般解法称为中国剩余定理。具体解法分三步：

1. 找出三个数：从3和5的公倍数中找出被7除余1的最小数15，从3和7的公倍数中找出被5除余1 的最小数21，最后从5和7的公倍数中找出除3余1的最小数70。
2. 用15乘以2（2为最终结果除以7的余数），用21乘以3（3为最终结果除以5的余数），同理，用70乘以2（2为最终结果除以3的余数），然后把三个乘积相加15∗2+21∗3+70∗2得到和233。
3. 用233除以3，5，7三个数的最小公倍数105，得到余数23，即233%105=23。这个余数23就是符合条件的最小数。

古人是怎么想到这个方法的呢？

首先这个问题可以被抽象成这样：已知(iin [1, n])，x满足(x=c_i mod p_i)，求出最小的x。

对于每个方程i，我们试图构造出一个(A_i)，使得(A_i=c_imod p_i)，同时(A_{其他}=0mod p_i)，这样答案就是(sum A_i mod p_1p_2dots p_n)。

设(M_i=frac{p_1p_2dots p_n}{p_i})，(invM_i=M_i^{-1}mod p_i)，那么Ai的公式就是(A_i=M_i*invM_i*c_i)。为什么这么构造？(M_i=frac{p_1p_2dots p_n}{p_i})乘在Ai里，保证只有(A_i)不被(p_i)整除。再乘上(M_i)对于(p_i)的逆元，此时的(A_i) mod (p_i)就为1了。再乘上(c_i)，就可以满足方程(A_i=c_imod p_i)。

扩展中国剩余定理

来自大佬：https://blog.csdn.net/litble/article/details/75807726。

假设这里有两个方程：(egin{aligned} x=a_1*x_1+b_1 \ x=a_2*x_2+b_2 end{aligned})，它们的原方程是(x=b_1 mod a_1,x=b_2 mod a_2)。

那么合并一下两个方程，可以得到：(a_1x_1-a_2x_2=b_2-b_1 (gcd(a_1, a_2)mid b_2-b_1))。还不赶快有请扩展欧几里得！（这幽默感学不来）

解出(x_1)后，就可以求出带入方程求出(x=k mod [a_1, a_2])，继续处理这个方程和下一个方程即可。