树链剖分这个算法我看了好多大神们的博客,才慢慢领悟,希望我写的过得去( · · )
众所周知,维护区间信息的题目可以用线段树高效实现。类似于区间这样一维的结构,在树上维护两点间的信息【比如树上两点之间的最大值】也可以用线段树吗?
仔细想想,好像很难实现。因为线段树维护的是链状结构,而树是一张图。
但我们想想,如果能把一棵树化为一条链,使得要节点间编号是一段一段的【也就是有些节点间的编号是连续的,但不是所有节点间都连续】,这样就可以通过多次调用维护区间的线段树来实现线段树维护树【两点之间有几个连续的段就调用几次】
这就是树链剖分要做的事情:把树分成许多条链,对节点重新编号,化树为链,以套用其他链状数据结构
怎么剖?
最好的就是剖分轻重链。
首先,我们先维护一些节点的信息:
siz[u] 以u为根的子树的大小
fa[u] u的父亲节点
dep[u] u的深度
son[u] u的重儿子
top[u] u所在重链的顶端节点
id[u] 树链剖分后u节点的编号
对于每一个非叶节点,它所有儿子中siz最大的那个就是它的重儿子。
对于前4项,我们可以通过一次dfs完成
看代码:
void dfs1(int u,int d,int f){ int to; fa[u]=f; dep[u]=++d; siz[u]=1; for(int k=head[u];k!=-1;k=edge[k].next) if((to=edge[k].to)!=f){ dfs1(to,d,u); siz[u]+=siz[to]; if(!son[u]||siz[son[u]]<siz[to]) son[u]=to; } }
对于top和id,我们需要再进行一次dfs,这次dfs优先往重儿子,这样子dfs序就是id,因为这样你会发现:
1、对于每个重链,它上边的节点编号一定是连续的
2、对于每个节点,以它为根的子树里的所有节点一定是它接下来的那些编号【比如一个节点编号2,它为根的子树大小6,那么接下来3、4、5、6、7一定在它的子树里】
这两个性质有什么用呢?
当我们要维护两节点间的信息时,我们只需沿着重链就可以套用线段树了【因为编号是连续的】(性质1)
当我们要维护某一个子树信息时,我们只需维护区间[id[u],id[u]+siz[u]-1](性质2)
具体实现:
void dfs2(int u,int f,int flag){ id[u]=++cnt;Hash[cnt]=u; flag ? top[u]=top[f]:top[u]=u; if(son[u]) dfs2(son[u],u,1); int to; for(int k=head[u];k!=-1;k=edge[k].next){ if((to=edge[k].to)!=f&&to!=son[u]) dfs2(to,u,0); } }
就这样子,我们就“剖”完了(^_^)
代码还是很容易理解的,多打打
树链剖分求LCA &树链剖分+线段树
为什么放在一起?因为这两个玩意原理一样。
对于节点u和v,它们在一个重链里,当且仅当top[u]==top[v]成立
若它们不在一个重链,我们不妨设top[u]的深度较大,那么我们令u=fa[top[u]],继续往上找。
在寻找过程中经过的路径就是u和v之间的路径,u最后到达的节点就是lca
这里就不在赘述了【我懒。。。】
拍上一个树链剖分模板题:
洛谷P3384 【模板】树链剖分
题目描述
如题,已知一棵包含N个结点的树(连通且无环),每个节点上包含一个数值,需要支持以下操作:
操作1: 格式: 1 x y z 表示将树从x到y结点最短路径上所有节点的值都加上z
操作2: 格式: 2 x y 表示求树从x到y结点最短路径上所有节点的值之和
操作3: 格式: 3 x z 表示将以x为根节点的子树内所有节点值都加上z
操作4: 格式: 4 x 表示求以x为根节点的子树内所有节点值之和
输入输出格式
输入格式:第一行包含4个正整数N、M、R、P,分别表示树的结点个数、操作个数、根节点序号和取模数(即所有的输出结果均对此取模)。
接下来一行包含N个非负整数,分别依次表示各个节点上初始的数值。
接下来N-1行每行包含两个整数x、y,表示点x和点y之间连有一条边(保证无环且连通)
接下来M行每行包含若干个正整数,每行表示一个操作,格式如下:
操作1: 1 x y z
操作2: 2 x y
操作3: 3 x z
操作4: 4 x
输出格式:输出包含若干行,分别依次表示每个操作2或操作4所得的结果(对P取模)
输入输出样例
输入样例#1:
5 5 2 24 7 3 7 8 0 1 2 1 5 3 1 4 1 3 4 2 3 2 2 4 5 1 5 1 3 2 1 3
输出样例#1:
2 21
说明
时空限制:1s,128M
数据规模:
对于30%的数据: N≤10,M≤10 N leq 10, M leq 10 N≤10,M≤10
对于70%的数据: N≤103,M≤103 N leq {10}^3, M leq {10}^3 N≤103,M≤103
对于100%的数据: N≤105,M≤105 N leq {10}^5, M leq {10}^5 N≤105,M≤105
经典的模板题,直接拍代码,慢慢体会:
#include<iostream> #include<cstdio> #include<cstring> #include<algorithm> using namespace std; const int maxn=100005,INF=200000000; inline int read(){ int out=0,flag=1;char c=getchar(); while(c<48||c>57) {if(c=='-') flag=-1;c=getchar();} while(c>=48&&c<=57) {out=out*10+c-48;c=getchar();} return out*flag; } int N,M,rt,P; int A[maxn]; int head[maxn],nedge=0; struct EDGE{ int to,next; }edge[2*maxn]; inline void build(int a,int b){ edge[nedge]=(EDGE){b,head[a]}; head[a]=nedge++; edge[nedge]=(EDGE){a,head[b]}; head[b]=nedge++; } int siz[maxn],fa[maxn],son[maxn],dep[maxn],top[maxn],id[maxn],Hash[maxn],cnt=0; void dfs1(int u,int d,int f){ int to; fa[u]=f; dep[u]=++d; siz[u]=1; for(int k=head[u];k!=-1;k=edge[k].next) if((to=edge[k].to)!=f){ dfs1(to,d,u); siz[u]+=siz[to]; if(!son[u]||siz[son[u]]<siz[to]) son[u]=to; } } void dfs2(int u,int f,int flag){ id[u]=++cnt;Hash[cnt]=u; flag ? top[u]=top[f]:top[u]=u; if(son[u]) dfs2(son[u],u,1); int to; for(int k=head[u];k!=-1;k=edge[k].next){ if((to=edge[k].to)!=f&&to!=son[u]) dfs2(to,u,0); } } int L,R,sum[4*maxn],lazy[4*maxn]; void build(int u,int l,int r){ if(l==r) sum[u]=A[Hash[l]]; else{ int mid=(l+r)>>1; build(u<<1,l,mid); build(u<<1|1,mid+1,r); sum[u]=(sum[u<<1]+sum[u<<1|1])%P; } } void pd(int u,int l,int r){ int mid=(l+r)>>1; sum[u<<1]=(sum[u<<1]+lazy[u]*(mid-l+1)%P)%P; sum[u<<1|1]=(sum[u<<1|1]+lazy[u]*(r-mid)%P)%P; lazy[u<<1]=(lazy[u<<1]+lazy[u])%P; lazy[u<<1|1]=(lazy[u<<1|1]+lazy[u])%P; lazy[u]=0; } void add(int u,int l,int r,int v){ if(l>=L&&r<=R) {sum[u]=(sum[u]+(r-l+1)*v%P)%P;lazy[u]=(lazy[u]+v)%P;} else{ if(lazy[u]) pd(u,l,r); int mid=(l+r)>>1; if(mid>=L) add(u<<1,l,mid,v); if(mid<R) add(u<<1|1,mid+1,r,v); sum[u]=(sum[u<<1]+sum[u<<1|1])%P; } } int Query(int u,int l,int r){ if(l>=L&&r<=R) return sum[u]; else{ if(lazy[u]) pd(u,l,r); int mid=(l+r)>>1; if(mid>=R) return Query(u<<1,l,mid); else if(mid<L) return Query(u<<1|1,mid+1,r); else return (Query(u<<1,l,mid)+Query(u<<1|1,mid+1,r))%P; } } void solve1(int u,int v,int x){ while(top[u]!=top[v]){ if(dep[top[u]]<dep[top[v]]) swap(u,v); L=id[top[u]]; R=id[u]; add(1,1,N,x); u=fa[top[u]]; } if(id[u]>id[v]) swap(u,v); L=id[u]; R=id[v]; add(1,1,N,x); } void solve2(int u,int v){ int ans=0; while(top[u]!=top[v]){ if(dep[top[u]]<dep[top[v]]) swap(u,v); L=id[top[u]]; R=id[u]; ans=(ans+Query(1,1,N))%P; u=fa[top[u]]; } if(id[u]>id[v]) swap(u,v); L=id[u]; R=id[v]; ans=(ans+Query(1,1,N))%P; printf("%d ",ans); } void solve3(int u,int v){ L=id[u]; R=id[u]+siz[u]-1; add(1,1,N,v); } void solve4(int u){ L=id[u]; R=id[u]+siz[u]-1; printf("%d ",Query(1,1,N)); } int main() { fill(head,head+maxn,-1); N=read(); M=read(); rt=read(); P=read(); int a,b,cmd; for(int i=1;i<=N;i++) A[i]=read(); for(int i=1;i<N;i++){ a=read(); b=read(); build(a,b); } dfs1(rt,0,0); dfs2(rt,0,0); //for(int i=1;i<=N;i++) printf("%d ",Hash[i]);cout<<endl; build(1,1,N); while(M--){ cmd=read(); a=read(); switch(cmd){ case 1:b=read();solve1(a,b,read());break; case 2:b=read();solve2(a,b);break; case 3:b=read();solve3(a,b);break; case 4:solve4(a);break; default:break; } } return 0; }