第二类斯特林数##
第二类斯特林数，记为(egin{Bmatrix} n \ m end{Bmatrix})或(S(n,m))，表示将(n)个元素划分到(m)个非空无序集合的方案数
计算式##
计算式有两种，递推式和通项式
--递推式--
第(n)个元素有两种选择，自己独立为一个集合，或者加入之前的集合
[egin{Bmatrix} n \ k end{Bmatrix} = egin{Bmatrix} n - 1 \ k - 1 end{Bmatrix} + egin{Bmatrix} n - 1 \ k end{Bmatrix} * k
]
--通项式--
根据容斥：
[egin{Bmatrix} n \ m end{Bmatrix} = frac{1}{m!} sumlimits_{k = 0}^{m} (-1)^{k} {m choose k} (m - k)^{n}
]
可以用(NTT)在(O(nlogn))的时间内计算出所有的关于(n)相同的(egin{Bmatrix} n \ m end{Bmatrix})
不过通常会结合其它式子展开化简
性质##
接下来不加证明地给出一些性质：
①
[egin{Bmatrix} 0 \ 0 end{Bmatrix} = 1
]
②
[egin{Bmatrix} n \ 0 end{Bmatrix} = 0 [ n >０]
]
③
[egin{Bmatrix} n \ n end{Bmatrix} = 1
]
④
[egin{aligned}
egin{Bmatrix} n \ 2 end{Bmatrix} &= egin{Bmatrix} n - 1 \ 1 end{Bmatrix} + egin{Bmatrix} n - 1 \ 2 end{Bmatrix} * 2 \
&= 1 + egin{Bmatrix} n - 1 \ 2 end{Bmatrix} * 2 \
&= 2^{n - 1} + 1
end{aligned}]
⑤
[egin{Bmatrix} n \ n - 1 end{Bmatrix} = {n choose 2}
]
⑥
[egin{Bmatrix} n \ n - 2 end{Bmatrix} = {n choose 3} + 3 * {n choose 4}
]