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题解
题意就是问一个(1....n)的排列在同一个置换不断重复下回到(1...n)可能需要的次数的个数
和置换群也没太大关系
我们只需知道同一个置换不断重复，实际上就是每个循环节的元素不断在循环节上旋转，所需次数就是所有循环节长度的(lcm)
这一点很显然
而循环节数量是任意的，长度也可以是任意的，但总和一定是(n)
问题就转化为了有多少个数(x)能为总和为(n)的一些数的(lcm)
如果令(x = prodlimits_{i = 1} p_i^{k_i})
若(sumlimits_{i = 1} p_i^{k_i} le n)，那么(x)显然是可以被凑出来的
我们只需令每一个(p_i^{k_i})作为一个数，再补上一些(1)使得它们总和为(n)，那么它们就是一个合法的(lcm)为(x)的方案
问题就转化为了用(le n)的一些质数(p_i^{k_i})凑出(le n)的数的方案数
显然就是一个分组背包问题
#include<algorithm>
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<map>
#define Redge(u) for (int k = h[u],to; k; k = ed[k].nxt)
#define REP(i,n) for (int i = 1; i <= (n); i++)
#define mp(a,b) make_pair<int,int>(a,b)
#define cls(s) memset(s,0,sizeof(s))
#define cp pair<int,int>
#define LL long long int
using namespace std;
const int maxn = 1005,maxm = 100005,INF = 1000000000;
inline int read(){
int out = 0,flag = 1; char c = getchar();
while (c < 48 || c > 57){if (c == '-') flag = -1; c = getchar();}
while (c >= 48 && c <= 57){out = (out << 3) + (out << 1) + c - 48; c = getchar();}
return out * flag;
}
LL f[maxn],ans;
int n,p[maxn],pi,isn[maxn];
void init(){
for (int i = 2; i <= n; i++){
if (!isn[i]) p[++pi] = i;
for (int j = 1; j <= pi && i * p[j] <= n; j++){
isn[i * p[j]] = true;
if (i % p[j] == 0) break;
}
}
}
int main(){
n = read();
init();
f[0] = 1;
for (int i = 1; i <= pi; i++){
for (int j = n; j >= 0; j--){
for (int k = p[i]; k <= j; k *= p[i])
f[j] += f[j - k];
}
}
for (int i = 0; i <= n; i++) ans += f[i];
printf("%lld
",ans);
return 0;
}