石子合并

石子合并

　　 有N堆石子排成一排，每堆石子有一定的数量。现要将N堆石子并成为一堆。合并的过程只能每次将相邻的两堆石子堆成一堆，每次合并花费的代价为这两堆石子的和，经过N-1次合并后成为一堆。求出总的代价最小值。

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　　石子合并是一道十分经典的问题。注意到石子的合并可以当做区间的合并，显而易见的，我们有如下状态转移方程：

　　

　　程序也十分简单：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define MAXN 220
const int INF=0x3f3f3f3f;
int n,w[MAXN],sum[MAXN],dp[MAXN][MAXN];
int main(){
    int n;
    scanf("%d",&n);
    for(int i=1;i<=n;i++){
        scanf("%d",&w[i]);
        sum[i]=sum[i-1]+w[i];
    }
    for(int i=n;i>=1;i--){
        for(int j=i+1;j<=n;j++){
            int tmp=INF;
            for(int k=i;k<j;k++)
                tmp=min(tmp,dp[i][k]+dp[k+1][j]+sum[j]-sum[i-1]);
            dp[i][j]=tmp;
        }
    }
    printf("%d
",dp[1][n]);
    return 0;
}

　　以上的算法正确性是可以保证的，但时间复杂度达到了O(n³)，当n≥1000时，这样的时间复杂度是无法接受的。

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　　考虑进一步优化。

　　回顾它的转移方程：

　　

　　根据平行四边形不等式，我们可以从dp[i][j-1]的决策点到dp[i+1][j]的决策点枚举，时间复杂度是O(n²)

　　

　　代码如下:

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define MAXN 5000+10
typedef long long LL;
const LL INF=0xffffff;
int n,g[MAXN][MAXN];
LL a[MAXN],sum[MAXN],f[MAXN][MAXN];
int main(){
    scanf("%d",&n);
    for(int i=1;i<=n;i++)scanf("%lld",&a[i]);
    for(int i=1;i<=n;i++)
        for(int j=1;j<=n;j++)
            f[i][j]=INF;
    for(int i=1;i<=n;i++){
        sum[i]=sum[i-1]+a[i];
        f[i][i]=0;
        g[i][i+1]=i;
    }
    for(int i=1;i<=n;i++)f[i][i+1]=sum[i+1]-sum[i-1];
    for(int i=n-2;i;i--)
        for(int j=i+2;j<=n;j++)
            for(int k=g[i][j-1];k<=g[i+1][j];k++){
                int tmp=f[i][k]+f[k+1][j]+sum[j]-sum[i-1];
                if(f[i][j]>tmp){
                    f[i][j]=tmp;
                    g[i][j]=k;
                }
            }
    printf("%lld",f[1][n]);        
    return 0;
}

　　尽管有了进一步的优化，但对于更大的数据，此算法也无能为力。（Codevs 2298）

　　

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　　实际上对于石子归并问题还有另一种算法：GarsiaWachs算法

　　算法的大致流程如下：

　　　　1.设一个序列是A[0..n-1]，每次寻找最小的一个满足A[k-1]<=A[k+1]的k，把A[k]与A[k-1]合并

　　　　2.之后找最大的一个满足A[j]>A[k]+A[k-1]的j,把合并后的值A[k]+A[k-1]插入A[j]的后面。

　　由于此算法在其他题目中较少用到，在此不多赘述。可以证明，它的时间复杂度是O(nlogn)的

　　

　　代码如下：　　

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define MAXN 50000+10
typedef long long LL;
int t,n,a[MAXN];
LL ans=0;
void work(int k){
    int tmp=a[k-1]+a[k];
    ans+=tmp;
    for(int i=k;i<t-1;i++)a[i]=a[i+1];
    t--;
    int j=0;
    for(j=k-1;j>0&&a[j-1]<tmp;j--)a[j]=a[j-1];
    a[j]=tmp;
    while(j>=2&&a[j]>=a[j-2]){
        int d=t-j;
        work(j-1);
        j=t-d;
    }
}
int main(){
    scanf("%d",&n);
    ans=0;
    for(int i=0;i<n;i++)scanf("%d",&a[i]);
    t=1;
    for(int i=1;i<n;i++){
        a[t++]=a[i];
        while (t>=3&&a[t-3]<=a[t-1])
            work(t-2);
    }
    while(t>1)work(t-1);
    printf("%lld
",ans);
    return 0;
}

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　　对于石子合并问题我只给出以上三种，孰优孰劣，大家见仁见智。