01背包问题

有N个物品和一个容量为V的背包，第i件物品的体积为v(i)，价值为w(i)，求将哪些物品装入背包，使得背包中物品的总价值最大。 例题： 输入： 4 6 1 4 2 6 3 12 2 7 输出： 23 分析如下：

#include
using namespace std ;
int main()  {
    int n , V ;                       //n件物品，背包容量为V
    cin >> n >> V ;
    int v[100] , w[100] ;             //第i件物品，体积为v[i]，价值为w[i]
    for(int i = 1 ; i <= n ; i++)       
        cin >> v[i] >> w[i] ;
    int c[10][100] = {0} ;            //c[i][j] 选择第i件物品，背包容量为j时，背包的最大价值
    for(int i = 1 ; i <= n ; i++)   {
        for(int j = 1 ; j <= v[i] - 1 ; j++)            //背包容量小于第i个物品体积时，则不能放入背包
            c[i][j] = c[i-1][j] ;
        for(int j = v[i] ; j <= V ; j++)                //背包容量大于第i个物品体积时，分析放入该物品与不放该物品，哪个使得背包价值最大
            c[i][j] = max(c[i-1][j],c[i-1][j-v[i]]+w[i]) ;
    }
    cout << c[n][V] << endl ;           //输出n个物品中，背包容量为V时，背包的最大价值
    return 0 ;
}

由于取物品时没有先后顺序，取得当前物品时，背包最大价值只与上一状态有关，所以可以对数组C进行相应处理，以减少空间的使用：

#include
using namespace std ;
int main()  {
    int n , V ;
    cin >> n >> V ;
    int v[100] , w[100] ;
    int c[2][100] = {0} ;
    int t = 0 ;
    for(int i = 1 ; i <= n ; i++)
        cin >> v[i] >> w[i] ;
    for(int i = 1 ; i <= n ; i++)   {
        for(int j = 1 ; j < v[i] ; j++)
            c[t][j] = c[!t][j] ;
        for(int j = v[i] ; j <= V ; j++)
            c[t][j] = max(c[!t][j],c[!t][j-v[i]]+w[i]) ;
        t = !t ;
    }
    if(n&1)
        cout << c[0][V] << endl ;
    else
        cout << c[1][V] << endl ;
    return 0 ;
}

下面这种方法是对上面方法的一种改进，直接倒序比较，相应代码如下：

#include
using namespace std ;
int main()  {
    int n , V ;
    cin >> n >> V ;
    int v[100] , w[100] , dp[100] = {0} ;
    for(int i = 0 ; i < n ; i++)        
        cin >> v[i] >> w[i] ;
    for(int i = 0 ; i < n ; i++)        
        for(int j = V ; j >= v[i] ; j--)          // 保证能放下该物品 
            dp[j] = max(dp[j],dp[j-v[i]]+w[i]) ;  // 确定的容量下，放该物品与不放该物品,哪个能使背包价值最大
    cout << dp[V] << endl ;
    return 0 ;
}