[HNOI 2001]求正整数

Description

对于任意输入的正整数n，请编程求出具有n个不同因子的最小正整数m。例如：n=4，则m=6，因为6有4个不同整数因子1，2，3，6；而且是最小的有4个因子的整数。

Input

n（1≤n≤50000）

Output

m

Sample Input

4

Sample Output

6

题解

这道题和[HAOI 2007]反素数ant解题思路和方法简直一毛一样...

同样我们引入这个公式：

对任一整数$a＞1$，有$a={p_1}^{a_1}{p_2}^{a_2}…{p_n}^{a_n}$，其中$p_1<p_2<…<p_n$均为素数，而$a_1$,$a_2$…,$a_n$是正整数。

$a$的正约数个数为：$(1+a_1)(1+a_2)…(1+a_n)$

同理，我们也是求有$n$个因数的最小整数。

我们最坏的情况所有质数只取$1$个，由于$15<log_{2}50000<16$

所以只要取前$16$个质数即可，

其余都和之前那题一样...

搜的时候为了保存最优值，因为数据大会爆$long$ $long$我们考虑用指数幂的形式保存，带一个数组保存取质数的个数。

同时注意每层循环枚举取质数的个数时候，因为不合法的情况很多，可以只枚举$sqrt n$次，然后用枚举的值算出对应的另外一个值。

#include<set>
#include<map>
#include<cmath>
#include<ctime>
#include<queue>
#include<stack>
#include<cstdio>
#include<string>
#include<vector>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
const double INF=1e100;
const int pri[18]={0,2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47,53};

int n;
double lg[18],mm=INF;
int ans[18],tmp[18];

void Dfs(double e,int y,int cen)
{
    if (e>=mm) return;
    if (y==1)
    {
        mm=e;
        memcpy(ans,tmp,sizeof(ans));
        return;
    }
    if (cen>16) return;
    for (int i=0;(i+1)*(i+1)<=y;i++) if (!(y%(i+1)))
    {
        if (i!=0)
        {
            tmp[cen]=i;
            Dfs(e+lg[cen]*i,y/(i+1),cen+1);
            tmp[cen]=0;
        }
        if ((i+1)*(i+1)!=y)
        {
            tmp[cen]=y/(i+1)-1;
            Dfs(e+lg[cen]*(y/(i+1)-1),i+1,cen+1);
            tmp[cen]=0;
        }
    }
}
void print()
{
    const int MOD=1e4;
    int a[100000],maxn=1;
    a[1]=1;
    for (int i=1;i<=16;i++)
    {
        for (int j=1;j<=ans[i];j++)
        {
            for (int k=1;k<=maxn;k++) a[k]*=pri[i];
            for (int k=1;k<=maxn;k++) a[k+1]+=a[k]/MOD,a[k]%=MOD;
            if (a[maxn+1]) maxn++;
        }
    }
    printf("%d",a[maxn]);
    for (int i=maxn-1;i>=1;i--) printf("%04d",a[i]);
    printf("
");
}

int main()
{
    scanf("%d",&n);
    for (int i=1;i<=16;i++) lg[i]=log(pri[i]);
    Dfs(0,n,1);
    print();
    return 0;
}