[HNOI 2008]玩具装箱

Description

　　P教授要去看奥运，但是他舍不下他的玩具，于是他决定把所有的玩具运到北京。他使用自己的压缩器进行压
缩，其可以将任意物品变成一堆，再放到一种特殊的一维容器中。P教授有编号为1...N的N件玩具，第i件玩具经过
压缩后变成一维长度为Ci.为了方便整理，P教授要求在一个一维容器中的玩具编号是连续的。同时如果一个一维容
器中有多个玩具，那么两件玩具之间要加入一个单位长度的填充物，形式地说如果将第i件玩具到第j个玩具放到一
个容器中，那么容器的长度将为 x=j-i+Sigma(Ck) i<=K<=j 制作容器的费用与容器的长度有关，根据教授研究，
如果容器长度为x,其制作费用为(X-L)^2.其中L是一个常量。P教授不关心容器的数目，他可以制作出任意长度的容
器，甚至超过L。但他希望费用最小.

Input

　　第一行输入两个整数N，L.接下来N行输入Ci.1<=N<=50000,1<=L,Ci<=10^7

Output

　　输出最小费用

Sample Input

5 4
3
4
2
1
4

Sample Output

1

题解

斜率优化$DP$。

之前有篇博文有详解=>戳我<=

我们写出原始转移方程：

f[i] = min(f[j]+sqr(sum[i]-sum[j]+i-j-1-l))

由于可以将常数约去，我们不妨只将与j有关的放在一起

f[i] = min(f[j]+sqr((sum[i]+i-1-l)-(sum[j]+j)))

那么就是之前的套路了。

化简后，我们可以设出

yi = f[i]+sqr(sum[i]+i)
xi = 2*(sum[i]+i)

单调队列维护下凸包即可。

#include <set>
#include <map>
#include <ctime>
#include <cmath>
#include <queue>
#include <stack>
#include <vector>
#include <cstdio>
#include <string>
#include <cstring>
#include <cstdlib>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#define LL long long
#define Max(a, b) ((a) > (b) ? (a) : (b))
#define Min(a, b) ((a) < (b) ? (a) : (b))
#define g(i) (sum[i]+i-1-l)
#define k(i) (sum[i]+i)
#define y(i) (f[i]+sqr(k(i)))
#define x(i) (2*k(i))
#define sqr(x) ((x)*(x))
using namespace std;
const LL N = 50000;

LL n, l, sum[N+5];
LL q[N+5], head, tail;
LL f[N+5];

int main(){
    scanf("%lld%lld", &n, &l);
    for (LL i = 1; i <= n; i++){
    scanf("%lld", &sum[i]);
    sum[i] += sum[i-1];
    }
    q[tail++] = 0;
    for (LL i = 1; i <= n; i++){
    while (head < tail-1)
        if (g(i)*(x(q[head+1])-x(q[head])) >= (y(q[head+1])-y(q[head]))) head++;
        else break;
    f[i] = f[q[head]]+sqr(sum[i]-sum[q[head]]+i-q[head]-1-l);
    while (head < tail-1)
        if ((y(q[tail-1])-y(q[tail-2]))*(x(i)-x(q[tail-1])) >= (x(q[tail-1])-x(q[tail-2]))*(y(i)-y(q[tail-1]))) tail--;
        else break;
    q[tail++] = i;
    }
    printf("%lld
", f[n]);
    return 0;
}