[JSOI 2011]分特产

Description

JYY 带队参加了若干场ACM/ICPC 比赛，带回了许多土特产，要分给实验室的同学们。

JYY 想知道，把这些特产分给N 个同学，一共有多少种不同的分法？当然，JYY 不希望任何一个同学因为没有拿到特产而感到失落，所以每个同学都必须至少分得一个特产。

例如，JYY 带来了2 袋麻花和1 袋包子，分给A 和B 两位同学，那么共有4 种不同的分配方法：

A：麻花，B：麻花、包子

A：麻花、麻花，B：包子

A：包子，B：麻花、麻花

A：麻花、包子，B：麻花

Input

输入数据第一行是同学的数量N 和特产的数量M。

第二行包含M 个整数，表示每一种特产的数量。

N, M 不超过1000，每一种特产的数量不超过1000

Output

输出一行，不同分配方案的总数。由于输出结果可能非常巨大，你只需要输出最终结果MOD 1,000,000,007 的数值就可以了。

Sample Input

5 4
1 3 3 5

Sample Output

384835

题解

想到了隔板法，想到了容斥...就是不知道怎么写...

对于总共$n$个人，很容易想到第$i$个物品，分出的方案数为$C^{n-1} _{a[i]+n-1}$，其中$a[i]$为个数（隔板法）。

但是这样做就会导致有人分不到特产。

考虑容斥，我们-一个人分不到的情况+两个人分不到的情况-三个人...

我们直接限定隔板的数目来强制一些人分不到特产，即方案数变为$C^{n-1-i} _{a[j]+n-1-i}$，其中$i$个人强制分不到，第$j$个物品。

注意最后，因为分不到的人可以是任意的，所以每次容斥还要*$C^i _n$。

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#include <set>
#include <map>
#include <cmath>
#include <ctime> 
#include <queue>
#include <stack>
#include <string>
#include <cstdio>
#include <vector>
#include <cstdlib>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#define Min(a, b) ((a) < (b) ? (a) : (b))
#define Max(a, b) ((a) > (b) ? (a) : (b))
#define LL long long
using namespace std;
const int N = 1000;
const int MOD = 1000000007;

int n, m, mx;
int a[N+5];
int C[N*2+5][N*2+5];

void work() {
    scanf("%d%d", &n, &m);
    for (int i = 1; i <= m; i++) {
        scanf("%d", &a[i]);
        mx = Max(mx, a[i]);
    }
    mx += n;
    for (int i = 0; i <= mx; i++) {
        C[i][0] = 1;
        for (int j = 1; j <= i; j++)
            C[i][j] = (C[i-1][j-1]+C[i-1][j])%MOD;
    }
    LL ans = 0;
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        LL cnt = 1;
        for (int j = 1; j <= m; j++)
            cnt = cnt*C[a[j]+n-1-i][n-1-i]%MOD;
        cnt = cnt*C[n][i]%MOD;
        if (i%2) ans = (ans+MOD-cnt)%MOD;
        else ans = (ans+cnt)%MOD;
    }
    printf("%lld
", ans);
}
int main() {
    work();
    return 0;
}