[Luogu 2817]宋荣子的城堡

Description

saruka有一座大大的城堡！城堡里面有n个房间，每个房间上面都写着一个数字p[i]。有一天，saruka邀请他的小伙伴LYL和 MagHSK来城堡里玩耍（为什么没有妹子），他们约定，如果某一个人当前站在i号房间里，那么下一步他就要去p[i]号房间，在下一步就要去 p[p[i]]号房间。

为了增加趣味性，saruka决定重新书写一下每个房间的p[i]，以满足：

<1>如果从编号为1-k的某个房间走，按照规则走，必须能走回1号房间。特别的，如果从1号房间开始走，也要走回1号房间。（至少走一步，如果p[1] = 1，从1走到1也算合法）

<2>如果从编号大于k的房间开始，按照规则走，一定不能走到1号房间。

saruka想知道，一共有多少书写p[i]的方案可以满足要求？

Input

共一行两个数字n，k，含义如题。

Output

一个数字，表示合法的方案数。答案对10 ^ 9 + 7取模。

Sample Input

5 2

7 4

Sample Output

54

1728

Hint

1 <= n <= 10 ^ 18

1 <= k <= min(8，n)

题解

很显然这道题我们要分治考虑，即分为$[1,k]$和$[k+1,n]$两个区间的点来计算。

首先我们很容易的知道后面这个区间的个数是${(n-k)}^{n-k}$，因为后面的点不能与$[1,k]$的点连，并且可以随便连，不用管是否连通。

那么我们现在考虑前面的$k$个点。我们想：首先这个图是一个典型的基环内向树，既然所有的点都能到达$1$号点，那么这个$1$号点肯定在基环上，并且整个图都是连通的。

我们来考虑这个问题：怎样构成这个图呢？

我们先假设只有$n-1$条边，那么使图要连通的话，显然构成了一棵树且根节点为$1$；因为边是有向的，显然所有边的方向是从儿子节点到父节点。

现在我们加上忽略的这条边，显然我从$1$号根节点连向任意一个节点都是可以的（包括根节点）。

我们拓展到一般的情况如果$1$号点不一定是根节点：那么我们只要把根节点连向$1$号点的位置就可以了。

我们得出这样一个结论：只要构成了一棵树，我都有方法使它满足条件，并且无论根节点是什么。并且我们能够得到，一个无向树确定了根节点，我都有办法确定方向使它们指向根。

带编号的点的无根生成树我们想到了$Cayley$公式，不知道的可以戳我之前写的一篇博客：->戳我<-

我们可以得到$n^{n-2}$棵无根树，并且我所有的点都可以确立为根，那么在每种形态下，我又有了$n$个版本。

那么前一部分的方案数就是$k^{k-1}$。

根据乘法原理：最终答案就是$k^{k-1}*{(n-k)}^{n-k}$。

//It is made by Awson on 2017.10.12
#include <set>
#include <map>
#include <cmath>
#include <ctime>
#include <cmath>
#include <stack>
#include <queue>
#include <vector>
#include <string>
#include <cstdio>
#include <cstdlib>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#define LL long long
#define Min(a, b) ((a) < (b) ? (a) : (b))
#define Max(a, b) ((a) > (b) ? (a) : (b))
#define sqr(x) ((x)*(x))
using namespace std;
const LL MOD = 1e9+7;

LL n, k;

LL quick_pow(LL a, LL b) {
  LL sum = 1;
  a %= MOD;
  while (b) {
    if (b&1) sum = sum*a%MOD;
    b >>= 1;
    a = a*a%MOD;
  }
  return sum;
} 
void work() {
  scanf("%lld%lld", &n, &k);
  LL ans1 = quick_pow(k, k-1);
  LL ans2 = quick_pow(n-k, n-k);
  printf("%lld
", ans1*ans2%MOD);
}
int main() {
  work();
  return 0;
}