Description
Input
第一行一个整数T,表示数据组数
对于每组数据,第一行有三个整数,分别表示n、m、M
若m不为0,则接下来一行有m对整数,p1、q1,p2、q2 ,…, pm、qm,其中第i对整数pi、qi表示第pi个人的编号必须为qi
Output
对于每组数据输出一行,若是有解则输出YES,后跟一个整数表示方案数mod M,注意,YES和数之间只有一个空格,否则输出NO
Sample Input
4 3 10
1 2 2 1 3 1
10 3 8882
7 9 2 9 5 10
Sample Output
NO
HINT
100%的数据满足:1≤T≤10,1≤n≤300,0≤m≤n,2≤M≤109,1≤pi、qi≤n 且保证pi互不相同。
题目大意
一个序列合法等价于编号$≤i$的人至少有$i$个。有些人钦定了座位。问合法序列多少个。
题解
难道就我一个人纠结题意纠结这么久么??
令$f_{i,j}$表示编号$≤i$的人有$j$个的方案数,$cnt_i$表示确定编号为$i$的人的个数,$sum_i$表示编号可以$≤i$的人的个数。
则:$$f_{i,j}=sum_{k=cnt_i}^{j-i+1}f_{i-1,j-k}*C_{sum_i-cnt_i-(j-k)}^{k-cnt_i}$$
显然$i<=j$,那么我们可以考虑如何从$i-1$转移到$i$。因为是从$i-1$转移过来,那么显然我们需要知道编号确定为$i$的人究竟有多少个。所以我们可以枚举这一位,也就是$i$,编号恰好为$i$的人数$k$。那么这个人数$k$显然最少为$cnt[i]$,也就是编号必须为$i$的人数,另外我们需要知道小于等于$i$的人有$j$个,所以同样需要枚举。$j$的范围是$i$到$sum[i]$(最多为$sum[i]$,相当于是能选编号小于等于$i$的最大人数)。所以上一位一共选了$j-k$个人(这一位新选了$k$个(注意:$k≤j-i+1$,因为上一位最少选$i-1$个),一共是$j$个人),所以就可以从$f_{i-1,j-k}$转移过来。那么这一位一共要选出$k-cnt[i]$个人编号为$i$,因为$cnt[i]$是必须要编号为$i$的人数,所以剩下的才是可供自由支配的。然后总人数呢?就是$sum[i]-(j-k)$也就是说这一位最多选$sum[i]$,上一位选了$(j-k)$,可知这一位最多选$sum[i]-cnt[i]-j+k$个人,也就是可以自由支配的总数。所以只需要把上一位的方案数$f_{i-1,j-k}$乘上一个组合数就可以得到这次的$f_{i,j}$。所以我们要预处理一下组合数。记得取模!
1 //It is made by Awson on 2017.10.19 2 #include <set> 3 #include <map> 4 #include <cmath> 5 #include <ctime> 6 #include <stack> 7 #include <queue> 8 #include <vector> 9 #include <string> 10 #include <cstdio> 11 #include <cstdlib> 12 #include <cstring> 13 #include <iostream> 14 #include <algorithm> 15 #define LL long long 16 #define Min(a, b) ((a) < (b) ? (a) : (b)) 17 #define Max(a, b) ((a) > (b) ? (a) : (b)) 18 #define Abs(x) ((x) < 0 ? (-(x)) : (x)) 19 using namespace std; 20 const int N = 300; 21 22 int C[N+5][N+5]; 23 int n, m, M, p, q; 24 int cnt[N+5], sum[N+5]; 25 int f[N+5][N+5]; 26 27 void work() { 28 scanf("%d%d%d", &n, &m, &M); 29 memset(cnt, 0, sizeof(cnt)); memset(f, 0, sizeof(f)); 30 for (int i = 0; i <= n; i++) { 31 C[i][0] = 1; 32 for (int j = 1; j <= i; j++) C[i][j] = (C[i-1][j-1]+C[i-1][j])%M; 33 } 34 for (int i = 1; i <= m; i++) { 35 scanf("%d%d", &p, &q); cnt[q]++; 36 } 37 sum[0] = n-m; 38 for (int i = 1; i <= n; i++) { 39 sum[i] = sum[i-1]+cnt[i]; 40 if (sum[i] < i) { 41 printf("NO "); return; 42 } 43 } 44 printf("YES "); 45 f[0][0] = 1; 46 for (int i = 1; i <= n; i++) 47 for (int j = i; j <= sum[i]; j++) 48 for (int k = cnt[i]; k <= j-i+1; k++) 49 (f[i][j] += (LL)f[i-1][j-k]*C[sum[i]-cnt[i]-(j-k)][k-cnt[i]]%M) %= M; 50 printf("%d ", f[n][n]); 51 } 52 int main() { 53 int t; cin >> t; 54 while (t--) work(); 55 return 0; 56 }