[AHOI 2012]树屋阶梯

Description

暑假期间，小龙报名了一个模拟野外生存作战训练班来锻炼体魄，训练的第一个晚上，教官就给他们出了个难题。由于地上露营湿气重，必须选择在高处的树屋露营。小龙分配的树屋建立在一颗高度为N+1尺（N为正整数）的大树上，正当他发愁怎么爬上去的时候，发现旁边堆满了一些空心四方钢材（如图1.1），经过观察和测量，这些钢材截面的宽和高大小不一，但都是1尺的整数倍，教官命令队员们每人选取N个空心钢材来搭建一个总高度为N尺的阶梯来进入树屋，该阶梯每一步台阶的高度为1尺，宽度也为1尺。如果这些钢材有各种尺寸，且每种尺寸数量充足，那么小龙可以有多少种搭建方法？（注：为了避免夜里踏空，钢材空心的一面绝对不可以向上。）

   以树屋高度为4尺、阶梯高度N=3尺为例，小龙一共有如图1.2所示的5种

   搭 建方法：

   

Input

一个正整数 N(1≤N≤500)，表示阶梯的高度

Output

一个正整数，表示搭建方法的个数。（注：搭建方法个数可能很大。）

Sample Input

3

Sample Output

5

HINT

1  ≤N≤500

题解

我们令$C_n$表示用$n$个长方形拼成$size$为$n$的三角梯形的方案数。

如题中的图，我们枚举最左下角的点属于哪个长方形。显然有$n$种可能，每种方法又把剩下的部分分成两个三角梯形（$size$可能为$0$）。

显然我们得到

$$C_n = sum _{i = 0} ^{n-1} C_i * C_{n-1-i}$$

其实就是$Catalan$的递推式，我们用通项公式求$C_n$即可。

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#include <set>
#include <map>
#include <cmath>
#include <ctime>
#include <stack>
#include <queue>
#include <vector>
#include <string>
#include <cstdio>
#include <cstdlib>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#define LL long long
#define Min(a, b) ((a) < (b) ? (a) : (b))
#define Max(a, b) ((a) > (b) ? (a) : (b))
#define Abs(x) ((x) < 0 ? (-(x)) : (x))
using namespace std;
const int N = 10005;

int n;
struct BIG_NUM {
    int a[N+5], len;
    BIG_NUM() {
    }
    BIG_NUM(int* _a, int _len) {
        len = _len;
        for (int i = 1; i <= _len; i++) a[i] = _a[i];
    }
    BIG_NUM &operator *= (const int &b) {
        for (int i = 1; i <= len; i++) a[i] *= b;
        for (int i = 1; i <= len; i++) a[i+1] += a[i]/10, a[i] %= 10;
        int loc = len+1;
        while (a[loc]) {
            a[loc+1] += a[loc]/10; a[loc] %= 10; loc++;
        }
        len = loc-1;
    }
    BIG_NUM &operator /= (const int &b) {
        int r = 0, i;
        BIG_NUM ans;
        for (i = len; i >= 1; i--) {
            r = r*10+a[i];
            if (r >= b) break;
        }
        ans.len = i;
        for (i-- ; i >= 1; i--) {
            ans.a[i+1] = r/b; r = r%b*10+a[i];
        }
        ans.a[1] = r/b;
        len = ans.len; for (int i = 1; i <= len; i++) a[i] = ans.a[i];
    }
    void print() {
        for (int i = len; i >= 1; i--) printf("%d", a[i]);
        printf("
");
    }
}A;

void work() {
    scanf("%d", &n);
    A.len = A.a[1] = 1;
    for (int i = n+2; i <= (n<<1); i++) A *= i;
    for (int i = 2; i <= n; i++) A /= i;
    A.print();
}
int main() {
    work();
    return 0;
}