[HNOI 2004]敲砖块

在一个凹槽中放置了 n 层砖块、最上面的一层有n 块砖，从上到下每层依次减少一块砖。每块砖都有一个分值，敲掉这块砖就能得到相应的分值，如下图所示。

14 15  4  3  23
 33  33 76  2
   2   13 11
     22 23
       31

如果你想敲掉第 i 层的第j 块砖的话，若i=1，你可以直接敲掉它；若i>1，则你必须先敲掉第i-1 层的第j 和第j+1 块砖。

你现在可以敲掉最多 m 块砖，求得分最多能有多少。

题解

分析题目中的选取条件,我们会发现:
这道题最终解的形态(选中的数字)可以描述成若干个三角形相互连接或重叠,如上图中的红色砖块,由两个蓝色标识的三角形部分重叠而成。
将最终解的形态(选中的数字)的每列最下层点用线画出(图中的蓝线),可以发现:
1、构成的轮廓线是一条锯齿状的折线;
2、轮廓线上的相邻点布局在三角形的相列与相邻行上,即如果从左向右观察列,轮廓线上的点只能从其左列的上方行或下方行连过来;
3、轮廓线上点所在列的上方点一定全部被选中。
则把原问题转化为沟画出重叠三角形的锯齿状轮廓折线,找到一条合法的路径,使得围在轮廓线内的数字代价和最大。
另,根据第 3 点分析,轮廓线上点所在列的上方点一定全部被选中,可将选中的数字压缩到轮廓线上点,问题进一步转化为求轮廓线上点的代价和最大。

算法

1、预处理:设 $cost[i,j]$表示选取第 $i$ 行第 $j$ 个,需要一起选取的其他点的个数。即与这个点同一列,且在这个点之上的点的个数。
2、$sum[i,j]$表示选取第 $i$ 行第 $j$ 个,需要一起选取的其他点的数值和。即与这个点同一列,且在这个点之上的点的数值之和。这样,$cost[]$,$sum[]$分别记录了走到每个格子本列的数字个数与代价和。
3、因为对于任意一列的任意一个数字,转移到它的前提与之前的方案无关,所以满足了$dp$ 的无后效性。同时当前列必定要由之前的某个最优状态转移过来,所以又满足了最优子结构的性质。故 $DP$ 是可行的。

 1 //It is made by Awson on 2017.10.31
 2 #include <set>
 3 #include <map>
 4 #include <cmath>
 5 #include <ctime>
 6 #include <queue>
 7 #include <stack>
 8 #include <vector>
 9 #include <cstdio>
10 #include <string>
11 #include <cstdlib>
12 #include <cstring>
13 #include <iostream>
14 #include <algorithm>
15 #define LL long long
16 #define Max(a, b) ((a) > (b) ? (a) : (b))
17 #define Min(a, b) ((a) < (b) ? (a) : (b))
18 using namespace std;
19 
20 int n, m;
21 int mp[55][55], cnt[55][55];
22 int f[55][55][2505];
23 
24 void work() {
25     scanf("%d%d", &n, &m);
26     for (int i = 1; i <= n; i++) for (int j = 1; j <= n-i+1; j++) scanf("%d", &mp[i][j]);
27     for (int i = 1; i <= n; i++)
28     for (int j = 1; j <= n-i+1; j++) {
29         if (i-2 >= 0) mp[i][j] += mp[i-2][j+1];
30         cnt[i][j] = (i+1)/2;
31     }
32     memset(f, -1, sizeof(f));
33     f[0][1][0] = 0; f[1][1][1] = mp[1][1];
34     for (int y = 1; y <= n; y++)
35     for (int x = 0; x <= n-y+1; x++)
36         for (int k = 0; k <= m; k++)
37         if (f[x][y][k] != -1) {
38             f[x+1][y][k+cnt[x+1][y]] = Max(f[x+1][y][k+cnt[x+1][y]], f[x][y][k]+mp[x+1][y]);
39             if (x == 0) f[x][y+1][k] = Max(f[x][y+1][k], f[x][y][k]);
40             else f[x-1][y+1][k+cnt[x-1][y+1]] = Max(f[x-1][y+1][k+cnt[x-1][y+1]], f[x][y][k]+mp[x-1][y+1]);
41         }
42     printf("%d
", f[0][n+1][m]);
43 }
44 int main() {
45     work();
46     return 0;
47 }

[HNOI 2004]敲砖块

Description

Input

Output

Sample Input

Sample Output

题解

算法