[BZOJ 3884]上帝与集合的正确用法

Description

根据一些书上的记载，上帝的一次失败的创世经历是这样的：

第一天，上帝创造了一个世界的基本元素，称做“元”。

第二天，上帝创造了一个新的元素，称作“α”。“α”被定义为“元”构成的集合。容易发现，一共有两种不同的“α”。

第三天，上帝又创造了一个新的元素，称作“β”。“β”被定义为“α”构成的集合。容易发现，一共有四种不同的“β”。

第四天，上帝创造了新的元素“γ”，“γ”被定义为“β”的集合。显然，一共会有16种不同的“γ”。

如果按照这样下去，上帝创造的第四种元素将会有65536种，第五种元素将会有2^65536种。这将会是一个天文数字。

然而，上帝并没有预料到元素种类数的增长是如此的迅速。他想要让世界的元素丰富起来，因此，日复一日，年复一年，他重复地创造着新的元素……

然而不久，当上帝创造出最后一种元素“θ”时，他发现这世界的元素实在是太多了，以致于世界的容量不足，无法承受。因此在这一天，上帝毁灭了世界。

至今，上帝仍记得那次失败的创世经历，现在他想问问你，他最后一次创造的元素“θ”一共有多少种？

上帝觉得这个数字可能过于巨大而无法表示出来，因此你只需要回答这个数对p取模后的值即可。

你可以认为上帝从“α”到“θ”一共创造了10^9次元素，或10^18次，或者干脆∞次。

一句话题意：

Input

接下来T行，每行一个正整数p，代表你需要取模的值

Output

T行，每行一个正整数，为答案对p取模后的值

Sample Input

3
2
3
6

Sample Output

0
1
4

HINT

对于100%的数据，T<=1000,p<=10^7

题解

用扩展欧拉定理（降幂大 Fa♂）：$$a^q equiv a^{q mod varphi(m)+varphi(m)} pmod{m}$$

其中，$a,m in mathbb{Z}^*$

$$2^{2^{2^{2^{2^{2^{cdots}}}}}} equiv 2^{2^{2^{2^{2^{2^{cdots}mod ~varphi(varphi(varphi(varphi(varphi(p)))))+varphi(varphi(varphi(varphi(varphi(p)))))}mod ~varphi(varphi(varphi(varphi(p))))+varphi(varphi(varphi(varphi(p))))}mod ~varphi(varphi(varphi(p)))+varphi(varphi(varphi(p)))}mod ~varphi(varphi(p))+varphi(varphi(p))}mod ~varphi(p)+varphi(p)} pmod{p}$$

显然当上述式子递归到一定层数后 $varphi$ 值变成 $1$ 或 $2$ 则 $mod~varphi$ 的值为 $0$ 就不用递归下去了。

 1 //It is made by Awson on 2018.1.13
 2 #include <set>
 3 #include <map>
 4 #include <cmath>
 5 #include <ctime>
 6 #include <queue>
 7 #include <stack>
 8 #include <cstdio>
 9 #include <string>
10 #include <vector>
11 #include <cstdlib>
12 #include <cstring>
13 #include <iostream>
14 #include <algorithm>
15 #define LL long long
16 #define Max(a, b) ((a) > (b) ? (a) : (b))
17 #define Min(a, b) ((a) < (b) ? (a) : (b))
18 #define Swap(a, b) ((a) ^= (b), (b) ^= (a), (a) ^= (b))
19 using namespace std;
20 const int N = 1e7;
21 const int MOD = 100003;
22 void read(int &x) {
23     char ch; bool flag = 0;
24     for (ch = getchar(); !isdigit(ch) && ((flag |= (ch == '-')) || 1); ch = getchar());
25     for (x = 0; isdigit(ch); x = (x<<1)+(x<<3)+ch-48, ch = getchar());
26     x *= 1-2*flag;
27 }
28 void write(int x) {
29     if (x > 9) write(x/10);
30     putchar(x%10+48);
31 }
32 
33 int t, p, prime[N+5], tot, phi[N+5];
34 
35 void get_phi() {
36     phi[1] = 1;
37     for (int i = 2; i <= N; i++) {
38     if (!phi[i]) phi[i] = i-1, prime[++tot] = i;
39     for (int j = 1; j <= tot && i*prime[j] <= N; j++) {
40         if (!(i%prime[j])) {phi[i*prime[j]] = prime[j]*phi[i]; break; }
41         else phi[i*prime[j]] = phi[i]*phi[prime[j]];
42     }
43     }
44 }
45 int quick_pow(int a, int b, int p) {
46     int ans = 1;
47     while (b) {
48     if (b&1) ans = (LL)ans*a%p;
49     a = (LL)a*a%p, b >>= 1;
50     }
51     return ans;
52 }
53 int f(int p) {
54     if (phi[p] <= 2) return quick_pow(2, phi[p], p);
55     return quick_pow(2, f(phi[p])+phi[p], p);
56 }
57 void work() {
58     get_phi(); read(t);
59     while (t--) read(p), write(quick_pow(2, f(phi[p])+phi[p], p)), putchar('
');
60 }
61 int main() {
62     work();
63     return 0;
64 }