[CQOI 2018]交错序列

Description

题库链接

定义长度为 (n) 的“交错序列”为：长度为 (n) 序列中仅含 (0,1) 且没有相邻的 (1) 。给出 (a,b) ，假设序列中有 (x) 个 (0) ， (y) 个 (1) 。定义该“交错序列”的价值为 (x^a imes y^b) ，特别地 (0^0=1) 。求所有长度为 (n) 的交错序列的价值的和。对质数 (m) 取模。

(1leq nleq 10000000,1leq mleq 100000000,1leq a,bleq 45)

Solution

傻逼题啊，组合数+ (lucas) 乱搞一下就好了。

式子就是： (sumlimits_{i=0}^{leftlfloorfrac{n+1}{2} ight floor}(n-i)^a imes i^b imes{n-i+1choose i})

正好 (O(n)) ，乱搞交了

あら？ (lucas) 也有个 (log) 啊！！！ f**k ， 45pts 。

观察式子 (x^a imes y^b) ，等价于 ((n-y)^a imes y^b) 。

即

[sum_{i=0}^a{achoose i}(-1)^{a-i}n^iy^{a+b-i}]

那么我们只要算出 (y^i) ，最后乘上 ({achoose i}(-1)^{a-i}n^i) 即可。

记 (f_{i,j,0/1}) 表示长度为 (i) 的序列结尾为 (0/1) 且所有 (1) 的个数（即式子中的 (y) ）的 (j) 次方和。

考虑转移，注意到如果这一位填 (0) ，那么是与式子中的 (y) 无关的，显然

[f_{i-1,j,0}+f_{i-1,j,1} ightarrow f_{i,j,0}]

如果这一位填 (1) ，假设 (y'=y+1) ，那么 (y'^i=(y+1)^i=sumlimits_{j=0}^i {ichoose j}y^j)

那么，

[sum_{k=0}^j{jchoose k}f_{i-1,k,0} ightarrow f_{i,j,1}]

初值 (f_{0,0,0}=1) ，长度为 (0) 含有 (0) 个 (1) 。可以用矩阵乘法加速。

复杂度 (O((2(a+b))^3log_2 n)) 。有点卡常...

Code

45pts

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 10000000+5;

int n, m, a, b, ifac[N], fac[N];

int quick_pow(int a, int b) {
    int ans = 1;
    while (b) {
        if (b&1) ans = 1ll*ans*a%m;
        b >>= 1, a = 1ll*a*a%m;
    }
    return ans;
}
int C(int n, int m, int p) {
    if (n < m) return 0;
    return 1ll*fac[n]*ifac[m]%p*ifac[n-m]%p;
}
int lucas(int n, int m, int p) {
    if (!m || n == m) return 1; if (n < m) return 0;
    return 1ll*lucas(n/p, n/p, p)*C(n%p, m%p, p)%p;
}
void work() {
    scanf("%d%d%d%d", &n, &a, &b, &m);
    int l = min(n+1, m);
    ifac[0] = ifac[1] = fac[0] = fac[1] = 1;
    for (int i = 2; i < l; i++) ifac[i] = -1ll*(m/i)*ifac[m%i]%m;
    for (int i = 2; i <= l; i++)
        ifac[i] = 1ll*ifac[i]*ifac[i-1]%m,
        fac[i] = 1ll*i*fac[i-1]%m;
    int ans = 0;
    for (int i = 0; i*2-1 <= n; i++) {
        (ans += 1ll*quick_pow(n-i, a)*quick_pow(i, b)%m*lucas(n-i+1, i, m)%m) %= m;
    }
    printf("%d
", (ans+m)%m);
}
int main() {work(); return 0; }

100pts

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 200+5;

int n, a, b, m, C[N][N], sz1, sz2;
struct mat {
    int a[N][N];
    mat() {}
    mat operator * (const mat &b) const {
        mat ans;
        for (int i = 0; i < sz2; i++)
            for (int j = 0; j < sz2; j++) {
                ans.a[i][j] = 0;
                for (int k = 0; k < sz2; k++)
                    if (a[i][k] && b.a[k][j])
                        (ans.a[i][j] += 1ll*a[i][k]*b.a[k][j]%m) %= m;
            }
        return ans;
    }
}S, T;

void work() {
    scanf("%d%d%d%d", &n, &a, &b, &m);
    sz1 = a+b+1, sz2 = sz1<<1;
    for (int i = 0; i <= sz1; i++) {
        C[i][0] = 1;
        for (int j = 1; j <= i; j++) C[i][j] = (C[i-1][j-1]+C[i-1][j])%m;
    }
    for (int i = 0; i < sz1; i++) {
        T.a[i][i] = 1, T.a[i+sz1][i] = 1;
        for (int j = i; j < sz1; j++) T.a[i][j+sz1] = C[j][i];
    }
    S.a[0][0] = 1; int t = n;
    while (t) {
        if (t&1) S = S*T;
        T = T*T, t >>= 1;
    }
    int ans = 0;
    for (int i = 0, pw = 1; i <= a; i++, pw = 1ll*pw*n%m) {
        ans += 1ll*((a-i)&1 ? -1 : 1)*C[a][i]*pw%m*(S.a[0][a+b-i]+S.a[0][a+b+sz1-i])%m;
        ans %= m;
    }
    printf("%d
", (ans+m)%m);
}
int main() {work(); return 0; }