《用 Python 学微积分》原文见参考资料 1。
13、大 O 记法
比较两个函数时，我们会想知道，随着输入值 x 的增长或减小，两个函数的输出值增长或减小的速度究竟谁快谁慢。通过绘制函数图，我们可以获得一些客观的感受。
比较 x!、ex、x3 和 log(x) 的变化趋势。
import numpy as np import sympy import matplotlib.pyplot as plt x = range(1,7) factorial = [np.math.factorial(i) for i in x] exponential = [np.e**i for i in x] polynomial = [i**3 for i in x] logarithmic = [np.log(i) for i in x] plt.plot(x,factorial,'black', x,exponential, 'blue', x,polynomial, 'green', x,logarithmic, 'red') plt.show()
根据上图，当 x—>∞ 时，x!>ex>x3>ln(x)。要想证明的话，可以取极限，用洛必达法则，例如：
$$lim_{x ightarrow infty}frac{e^x}{x^3}=infty$$
表明当 x—>∞ 时，虽然分子分母都在趋向无穷大，但分子远远凌驾于分母之上。类似地，也可以这样看：
$$lim_{x ightarrow infty}frac{ln(x)}{x^3}=0$$
表明分母远远凌驾于分子之上。
SymPy 是 Python 的数学符号计算库，用它可以进行数学公式的符号推导。下面代码用 SymPy 来推导上面两式。
import sympy from sympy.abc import x # sympy中无限infty用oo表示 print ((sympy.E**x)/(x**3)).limit(x,sympy.oo) # result is: oo print (sympy.ln(x)/x**3).limit(x,sympy.oo) # result is 0
为了描述这种随着 x—>∞ 或 x—>0 时函数的表现，我们定义如下大 O 记法：
若我们称函数 f(x) 在 x—>0 时是 O(g(x))，则需要找到一个常数 C，对于所有足够小的 x，均有 |f(x)|<C|g(x)|。
若我们称函数 f(x) 在 x—>∞ 时是 O(g(x))，则需要找到一个常数 C，对于所有足够大的 x，均有 |f(x)|<C|g(x)|。
之所以叫大 O 记法，是因为函数的增长速率很多时候被称为函数的阶（Order）。
例如，当 x—>∞ 时，x(1+x2)1/2 是 O(x2)，下面来个直观感受。
下图是两个函数的变化趋势，红线是 x(1+x2)1/2 ，蓝线是 2x2 。
import sympy from sympy.abc import x import numpy as np import matplotlib.pyplot as plt xvals = np.linspace(0,100,1000) f = x*sympy.sqrt(1+x**2) g = 2*x**2 y1 = [f.evalf(subs={x:xval}) for xval in xvals] y2 = [g.evalf(subs={x:xval}) for xval in xvals] plt.plot(xvals[:10],y1[:10],'r',xvals[:10],y2[:10],'b') #plt.plot(xvals,y1,'r',xvals,y2,'b') plt.show()
Sympy 可以帮助我们分析函数的阶，如下面求 x(1+x2)1/2 的阶。
import sympy from sympy.abc import x f = x*sympy.sqrt(1+x**2) print sympy.O(f, (x, sympy.oo)) # result is : O(x**2, (x, oo))
计算机中使用大 O 记法，通常是分析当输入数据 —>∞ 时，程序在时间或空间上的表现。然而，从上面的介绍，我们知道这个位置可以是 0，甚至可以是任何有意义的位置。
import sympy from sympy.abc import x f = x*sympy.sqrt(1+x**2) print sympy.O(f, (x, 0)) # result is : O(x)
在前面泰勒级数一节，利用 Sympy 取函数泰勒级数的前几项时，代码是这样：
import sympy from sympy.abc import x exp = sympy.E**x sum15 = exp.series(x,0,15).removeO() print sum15
其中 removeO() 的作用是让 sympy 忽略掉级数展开后的大 O 表示项。不然结果如下：
import sympy from sympy.abc import x exp = sympy.E**x print exp.series(x, 0, 3) # result is: 1 + x + x**2/2 + O(x**3)
这表示从泰勒级数的第 4 项起，剩余所有项在 x—>0 时是 O(x3)。这表明，当 x—>0 时，用 1+x+0.5x2 来近似 ex ，我们得到的误差上限将是 Cx3，其中 C 是一个常数。也就是说，大 O 记法能用来描述我们使用多项式近似时的误差。
另外大 O 记法也可以直接参与计算中去，例如要计算：
$$cos(x^2)sqrt{(x)}$$
在 x—>0 时阶 O(x5) 以内的多项式近似，可以这样：
$$cos(x^2)sqrt{(x)}=(1-frac{1}{2}x^4+O(x^6))x^{frac{1}{2}}$$
$$qquad = x^{frac{1}{2}}- frac{1}{2}x^{frac{9}{2}} + O(x^{frac{13}{2}})$$
import sympy from sympy.abc import x print (sympy.cos(x**2)*sympy.sqrt(x)).series(x,0,5) # result is: sqrt(x) - x**(9/2)/2 + O(x**5)
14、导数
对函数某一点求导，得到的是函数在该点处切线的斜率。选中函数图像中某一点，不断放大，最后会发现函数图像一条直线，这条直线就是切线。下面获得一些直观的感受。
import numpy as np from sympy.abc import x import matplotlib.pyplot as plt # 函数 f = x**3-2*x-6 # 在x=6处正切于函数的切线 line = 106*x-438 d1 = np.linspace(2,10,1000) d2 = np.linspace(4,8,1000) d3 = np.linspace(5,7,1000) d4 = np.linspace(5.8,6.2,100) domains = [d1,d2,d3,d4] # 画图的函数 def makeplot(f,l,d): plt.plot(d,[f.evalf(subs={x:xval}) for xval in d],'b', d,[l.evalf(subs={x:xval}) for xval in d],'r') for i in range(len(domains)): # 绘制包含多个子图的图表 plt.subplot(2, 2, i+1) makeplot(f,line,domains[i]) plt.show()
导数定义 1：
$$f'(a)=frac{df}{dx}igg|_{x=a}=lim_{x ightarrow a}frac{f(x)-f(a)}{x-a}$$
若该极限不存在，则函数在 x=a 处的导数不存在。
导数定义 2：
$$f'(a)=frac{df}{dx}igg|_{x=a}=lim_{h ightarrow 0}frac{f(a+h)-f(a)}{h}$$
若该极限不存在，则函数在 x=a 处的导数不存在。
导数定义 3：
函数 f(x) 在 x=a 处的导数 f'(a) 是满足如下条件的常数 C，对于在 a 附近输入值的微小变化 h，有 f(a+h)=f(a)+Ch+O(h2) 始终成立。也就是说导数 C 输入值变化中一阶项的系数。上式稍加变化，两边同时除以 h，并同时取极限可得：
$$lim_{h ightarrow 0}frac{f(a+h)-f(a)}{h}=lim_{h ightarrow 0}C+O(h)=C$$
便与上面定义 2 相一致了。
例如求 cos(x) 在 x=a 处的导数：
$$cos(a+h)=cos(a)cos(h)-sin(a)sin(h)$$
$$qquad = cos(a)(1+O(h^2))-sin(a)(h+O(h^3))$$
$$qquad = cos(a)-sin(a)h +O(h^2)$$
所以：
$$frac{d}{dx}{cos(x)}igg|_{x=a}=-sin(a)$$
我们可以自己定义求导的函数：
import numpy as np from sympy.abc import x f = lambda x: x**3-2*x-6 # 我们设定参数h的默认值，如果调用函数时没有指明参数h的值，便会使用默认值 def derivative(f,h=0.00001): return lambda x: float(f(x+h)-f(x))/h fprime = derivative(f) print fprime(6) # result is：106.000179994
Sympy 也提供求导的方法：
from sympy.abc import x f = x**3-2*x-6 print f.diff() # result is :3*x**2 - 2 print f.diff().evalf(subs={x:6}) # result is : 106.0000000000
依据导数的定义 3，有 f(a+h)=f(a)+f'(a)h+O(h2)，如果将高阶项丢掉，就获得了 f(a+h) 的线性近似式子：f(a+h)≈f(a)+f'(a)h。
例如，用线性近似的方法估算 2551/2：
$$sqrt{256-1}approx sqrt{256}+frac{1}{2sqrt{256}}(-1)$$
$$qquad = 16 - frac{1}{32}$$
$$qquad = 15frac{31}{32}$$
15、牛顿迭代法
如何在不使用 x1/2 前提下求 C 的正二次根。
上述问题等价于求 f(x)=x2+C=0 的解，根据上面介绍的线性近似：f(x+h)≈f(x)+f'(x)h 。如果 f(x+h)=0，那么：
$$happrox -frac{f(x)}{f'(x)}$$
$$x+happrox x - frac{f(x)}{f'(x)}$$
如果我们对 f(x)=0 的解有一个初始估计 x0，便可以用上面的近似不断获取更加准确的估计值，方法为：
$$x_{n+1} = x_{n} - frac{f(x_n)}{f'_{x_n}}$$
将 f(x)=x2+C 代入上式，即得 xn 的更新规则：
$$x_{n+1} = frac{1}{2}(x_{n}+frac{C}{x_{n}})$$
from sympy.abc import x def mysqrt(c, x = 1, maxiter = 10, prt_step = False): for i in range(maxiter): x = 0.5*(x+ c/x) if prt_step == True: # 在输出时，{0}和{1}将被i+1和x所替代 print "After {0} iteration, the root value is updated to {1}".format(i+1,x) return x print mysqrt(2,maxiter =4,prt_step = True) # After 1 iteration, the root value is updated to 1.5 # After 2 iteration, the root value is updated to 1.41666666667 # After 3 iteration, the root value is updated to 1.41421568627 # After 4 iteration, the root value is updated to 1.41421356237 # 1.41421356237
通过绘图进一步了解这个方法，例如，我们要猜 f(x)=x2-2x-4=0 的解，从 x0=2 开始，找到 f(x) 在 x=x0 处的切线 y=2x-8，找到其与 y=0 的交点 (4,0)，将该交点作为新的猜测解 x1=4，如此循环。
import numpy as np import matplotlib.pyplot as plt f = lambda x: x**2-2*x-4 l1 = lambda x: 2*x-8 l2 = lambda x: 6*x-20 x = np.linspace(0,5,100) plt.plot(x,f(x),'black') plt.plot(x[30:80],l1(x[30:80]),'blue', linestyle = '--') plt.plot(x[66:],l2(x[66:]),'blue', linestyle = '--') l = plt.axhline(y=0,xmin=0,xmax=1,color = 'black') l = plt.axvline(x=2,ymin=2.0/18,ymax=6.0/18, linestyle = '--') l = plt.axvline(x=4,ymin=6.0/18,ymax=10.0/18, linestyle = '--') plt.text(1.9,0.5,r"$x_0$", fontsize = 18) plt.text(3.9,-1.5,r"$x_1$", fontsize = 18) plt.text(3.1,1.3,r"$x_2$", fontsize = 18) plt.plot(2,0,marker = 'o', color = 'r' ) plt.plot(2,-4,marker = 'o', color = 'r' ) plt.plot(4,0,marker = 'o', color = 'r' ) plt.plot(4,4,marker = 'o', color = 'r' ) plt.plot(10.0/3,0,marker = 'o', color = 'r' ) plt.show()
如下定义牛顿迭代法：
def NewTon(f, s = 1, maxiter = 100, prt_step = False): for i in range(maxiter): # 相较于f.evalf(subs={x:s}),subs()是更好的将值带入并计算的方法。 s = s - f.subs(x,s)/f.diff().subs(x,s) if prt_step == True: print "After {0} iteration, the solution is updated to {1}".format(i+1,s) return s from sympy.abc import x f = x**2-2*x-4 print NewTon(f, s = 2, maxiter = 4, prt_step = True) # After 1 iteration, the solution is updated to 4 # After 2 iteration, the solution is updated to 10/3 # After 3 iteration, the solution is updated to 68/21 # After 4 iteration, the solution is updated to 3194/987 # 3194/987
Sympy 可以帮助我们求解方程：
import sympy from sympy.abc import x f = x**2-2*x-4 print sympy.solve(f,x) # result is：[1 + sqrt(5), -sqrt(5) + 1]
参考资料：
[1] https://ryancheunggit.gitbooks.io/calculus-with-python/content/