筛法求质数2012年12月30日

        问题描述:使用筛法求质数。有一个很神奇的筛子，可以给它一个数i，这个筛子有办法把i的所有倍数去掉。请用这个方法求出2到N之间的所有质数。要求，程序不能使用乘法和除法，只能用加或减，以求加快速度。

        该问题的思路来自《C语言名题精选百则技巧篇》，很惭愧，我对这样的涉及一些数学知识的题很少有解决的办法，我需要在这一方面加强。

        我把书中的思路归纳如下，并加上了我自己的一些想法。

        1.   2的倍数都不是质数，所以不比考虑2的倍数。2是质数，所以考虑的数的集合是   2i+3,i=0,1,2,3,4.......

        2.   求质数，只需要处理到num/2就可以了。在程序中MAX为基准，算出2到2*MAX+3之间的质数，实际也是处理到MAX就停止了。

        3.   程序不能使用乘法，只能使用加法和减法，所以就需要作一些数学方面的处理:2i+3是一个奇数，要去除它的倍数。在第1点中，已经去除了2的倍数，所以就不用管2i+3的偶数倍的数了，只需要处理2i+3的奇数倍的数了。所以，我们需要去除(2n+1)(2i+3),n=1,2,3,4....当然，不能去除2i+3本身。然后对(2n+1)(2i+3)做一个变形，朝着2N+3这样的形式去变形(ps:这是我以前在数学证明题中经常做的)。变形过程:(2n+1)(2i+3)=2n(2i+3)+2i+3=2[n(2i+3)+i]+3;这就是2N+3的形式了(N就是n(2i+3)+i)。由于在程序中我们是以i作为索引的，所以我们用筛子筛出位置为N的数，也就是删除位置为n(2i+3)+i的数。这样，就不难写出程序了。

        代码如下:

#include <stdio.h>
#define MAX 1000
#define SAVE 0
#define DELETE 1

int sieve[1000]={0}; //all to SAVE

int main()
{
    int i,k;
    int prime;
    int count=1;//The sum number of the prime numbers 
    //2*i+3 is odd numbers
    for(i=0;i<MAX;i++)
    {
        if(sieve[i]==SAVE) //it is a prime number 
        {
            //I have a problem here.Why are the front several numbers prime number after one or two sieve process such as 5 or 7 or 11? I just think they are prime nubmers without proving it.  
            prime=i+i+3; 
            count++;
            for(k=prime+i;k<=MAX;k+=prime)
                sieve[k]=DELETE;
        }
    }
    printf("%6d",2);

    for(i=0,k=2;i<MAX;i++)
    {
        if(sieve[i]==SAVE)
        {
            if(k>10) 
            {
                printf("\n"); 
                k=1;
            }
            int temp=i+i+3;
            printf("%6d",temp);
            k++;
        }
    }
    printf("\nThe sum number is %d \n",count);
    return 0;
}

        总结:与一些数学变换相结合的程序题是我的一个弱项，自己总是想不到这样的想法，最根本的原因就是这样思考得太少了以及数学功底不够。在以后需要多加强数学知识的学习以及数学与程序相结合的算法(数据结构)甚至是项目实践等等练习。 

        参考资料:《C语言名题精选百则技巧篇》 

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