【矩阵专题】——矩阵快速幂

今天来讲矩阵快速幂：

先卖个关子，对于一般的快速幂，我们是这样解决的：

eg：n¹⁹ mod k

我们知道，根据二进制

19₍₁₀₎=10011₍₂₎=(10000+10+1)₍₂₎

所以可以将19二进制分解

这里引入res和ans和N三个变量。

令N=19，res=n，ans=1

10011末尾为1，所以将这个单独放入ans：ans=res*ans=n，接着将res平方：res=res*res=n²，将N右移一位：N>>=1。

1001：ans=res*ans=n³；res=res²=n⁴

100：末尾为0，不改变ans，但将res平方：res=n⁸

10：res=n¹⁶

1：ans=n³⁺¹⁶=19,；res=n³²

最后我们得到结果。

时间复杂度：O(log₂N)。

上代码：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
ll n,k;
ll quickpow(ll x,ll N){
    ll res = x,ans = 1;
    while(N){
        if(N & 1){
            ans = ans * res;
        }
        res *= res;
        N >>= 1;
    }
    return ans;
}
int main(){
    scanf("%lld%lld",&n,&k);
    printf("%lld\n",quickpow(n,k));
    return 0;
}

这是对于数字的快速幂，那么矩阵呢？

其实是一样的，我们将矩阵乘法代替乘号，ans变为单位矩阵I，其余不变。

上代码：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const ll mod=1e9+7; 
const ll maxn=110;
ll n,k;
struct matrix{
    ll a[maxn][maxn];
    void Empty(){
        memset(a,0,sizeof(a));
    }
    void One(){
        Empty();
        for(ll i=1;i<=n;i++) a[i][i]=1; 
    }
    matrix operator *(matrix b){
        matrix tmp;
        tmp.Empty();
        for(ll i=1;i<=n;i++){
            for(ll j=1;j<=n;j++){
                for(ll q=1;q<=n;q++){
                    (tmp.a[i][j]+=a[i][q]*b.a[q][j]%mod)%=mod;
                }
            }
        }
        return tmp;
    }
    void out(){
        for(ll i=1;i<=n;i++){
            for(ll j=1;j<=n;j++){
                printf("%lld ",a[i][j]%mod);
            }
            printf("\n");
        }
    }
}res,ans;
void matrix_pow(ll N){
    ans.One();
    while(N){
        if(N&1){
            ans=ans*res;
        }
        res=res*res;
        N>>=1;
    }
}
int main(){
    scanf("%lld%lld",&n,&k);
    for(ll i=1;i<=n;i++){
        for(ll j=1;j<=n;j++){
            scanf("%lld",&res.a[i][j]);
        }
    }
    matrix_pow(k);
    ans.out();
    return 0;
}

另外我们可以在矩阵中写一些函数便于操作，比如单位矩阵，矩阵乘法，矩阵清零，矩阵输出等。

你学会了吗？