【DP专题】——洛谷P2466 [SDOI2008]Sue的小球

有后效性的动态规划？（然而并不是）

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题目描述

Sue和Sandy最近迷上了一个电脑游戏，这个游戏的故事发在美丽神秘并且充满刺激的大海上，Sue有一支轻便小巧的小船。然而，Sue的目标并不是当一个海盗，而是要收集空中漂浮的彩蛋，Sue有一个秘密武器，只要她将小船划到一个彩蛋的正下方，然后使用秘密武器便可以在瞬间收集到这个彩蛋。然而，彩蛋有一个魅力值，这个魅力值会随着彩蛋在空中降落的时间而降低，Sue要想得到更多的分数，必须尽量在魅力值高的时候收集这个彩蛋，而如果一个彩蛋掉入海中，它的魅力值将会变成一个负数，但这并不影响Sue的兴趣，因为每一个彩蛋都是不同的，Sue希望收集到所有的彩蛋。

然而Sandy就没有Sue那么浪漫了，Sandy希望得到尽可能多的分数，为了解决这个问题，他先将这个游戏抽象成了如下模型：

以Sue的初始位置所在水平面作为x轴。

一开始空中有N个彩蛋，对于第i个彩蛋，他的初始位置用整数坐标（xi, yi）表示，游戏开始后，它匀速沿y轴负方向下落,速度为vi单位距离/单位时间。Sue的初始位置为(x0, 0)，Sue可以沿x轴的正方向或负方向移动，Sue的移动速度是1单位距离/单位时间，使用秘密武器得到一个彩蛋是瞬间的，得分为当前彩蛋的y坐标的千分之一。

现在，Sue和Sandy请你来帮忙，为了满足Sue和Sandy各自的目标，你决定在收集到所有彩蛋的基础上，得到的分数最高。

输入格式

第一行为两个整数N, x0用一个空格分隔，表示彩蛋个数与Sue的初始位置。

第二行为N个整数xi，每两个数用一个空格分隔，第i个数表示第i个彩蛋的初始横坐标。

第三行为N个整数yi，每两个数用一个空格分隔，第i个数表示第i个彩蛋的初始纵坐标。

第四行为N个整数vi，每两个数用一个空格分隔，第i个数表示第i个彩蛋匀速沿y轴负方向下落的的速度。

输出格式

一个实数，保留三位小数，为收集所有彩蛋的基础上，可以得到最高的分数。

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　　这道题容易看出是动态规划，但是转移方程不好设计：每走一步都会改变当前所有未收集位置上的状态，不好从一个状态转移到另一个状态，但是我们可以提前将它计算出来。

　　我们设f[k][i][j]表示[i,j]已经走了，此时在k位置(k=0 left|k=1 right)时的最大分数，每走到一个新的格子，先将价值减去其余格子下降的高度和，再加上当前格的价值，以此方式考虑从左还是右转移即可。

　　具体细节：

1.可以用前缀和处理每一个格子的价值，高度和即为d*{sum[1~i)+sum(j,n]},d为路程。

2.预处理就是将原点加入序列中，排序保证每次转移都是向最近的格子(先取比迂回取更优)，再将初始状态赋为0，其余为负无穷即可。

具体看程序：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define f(i,a,b) for(int i=a;i<=b;i++)
const int N=1e3+10;
struct ball{
    int x,y,v;
}a[N];
bool cmp(ball t1,ball t2){return t1.x<t2.x;}
int n,x0;
int s[N],l[N][N],r[N][N];
int sum(int i,int j){
    return s[n]-s[j]+s[i-1];
}
int read(){
    int x=0,f=1;
    char c=getchar();
    while(!isdigit(c)){
        if(c=='-') f=-1;
        c=getchar();
    }
    while(isdigit(c)){
        x=x*10+c-'0';
        c=getchar();
    }
    return x*f;
} 
int main(){
    n=read();
    x0=read();
    f(i,1,n){
        a[i].x=read();
    }
    f(i,1,n){
        a[i].y=read();
    }
    f(i,1,n){
        a[i].v=read();
    }
    a[++n].x=x0;
    sort(a+1,a+n+1,cmp);
    f(i,1,n){
        s[i]=s[i-1]+a[i].v;
    }
    memset(l,-0x3f,sizeof(l));
    memset(r,-0x3f,sizeof(r));
    f(i,1,n){
        if(a[i].v==0&&a[i].x==x0) l[i][i]=r[i][i]=0;
    }
    f(i,2,n){
        f(j,1,n-i+1){
            int k=j+i-1;
            l[j][k]=a[j].y+max(l[j+1][k]-(a[j+1].x-a[j].x)*sum(j+1,k),r[j+1][k]-(a[k].x-a[j].x)*sum(j+1,k));
            r[j][k]=a[k].y+max(r[j][k-1]-(a[k].x-a[k-1].x)*sum(j,k-1),l[j][k-1]-(a[k].x-a[j].x)*sum(j,k-1));
        }
    }
    printf("%.3lf",max(l[1][n],r[1][n])/1000.0);
    return 0;
}