常用数列总结&性质记录

1.斐波那契数列

P.S.:这里首项下标为 1

递推式:$$F_i=F_{i-1}+F_{i-2},F_1=F_2=1$$

性质:
(1.sum^{n}_{i=1}F_{i}=F_{n+2}-1)

(2.sum^{n}_{i=1}F_i^2=F_n F_{n+1})

(3.sum_{i=1}^{n}i F_i=n F_{n+2}-F_{n+3}+2)

(4.F_{n+m}=F_n F_{m-1}+F_{m} F_{n+1})

(5.F_{2n}/F_{n}=F_{n-1}+F_{n+1})

(6.gcd(F_i,F_{i+1})=1)

(7.gcd(F_n,F_m)=F_{gcd(n,m)})

(8.)斐波那契数列的第n+2项代表了集合({1,2,...n})中所有不包含相邻正整数的子集的个数.

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2.卡特兰数

P.S. 这里首项下标为0

递推关系:

[C_n=sum_{i=0}^{n-1} C_iC_{n-i-1},C_0=C_1=1 ]

常用递推关系:

[C_n=frac{C_{n-1}*(4*n-2)}{n+1} ]

另类递推式:

[C_n=frac{2nchoose n}{n+1} ]

[C_n={2n choose n}-{ 2n choose n-1} ]

应用:

1. n 个元素的不同的出栈序列个数
2. n 个元素的排列中最长下降子序列不超过 2 的排列个数
3. 凸 n+2 边形的三角形划分数
4. 球迷购票问题
5. n 对括号正确匹配的排列方案数
6. 链乘的括号化方案数

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3.斯特林数

1.第一类斯特林数

含义: n 个人坐 m 张圆桌的方案数

递推式:

[left [ egin{matrix}n \ mend{matrix} ight ]=left [ egin{matrix}n-1 \ mend{matrix} ight ]*(n-1)+left [ egin{matrix}n-1 \ m-1end{matrix} ight ]]

理解:新来一个人的时候,要么坐在前面 n-1 个人的某一边(坐在一个地方必定同时是一个人的左边和一个人的右边) , 要么自己新坐一桌

有符号与无符号第一类斯特林数的关系:

[large (-1)^{n-m}left [ egin{matrix}n \ mend{matrix} ight ]_u =left [ egin{matrix}n \ mend{matrix} ight ]_s ]

1.无符号第一类斯特林数与上升幂/下降幂的关系

考虑:

[x^{overline n}=x*(x+1)*(x+2)*(x+3)*...(x+n-1) ]

从生成函数方面考虑其含义,是从 ([0,n-1]) 中选出任意多个数乘起来的和,其中第 (m) 次方项系数表示选了 (n-m) 个数(剩下 m 个数)时的和 , 特别的 , 一个数也不选乘积为 1

设(f(n,m))表示从 ([1,n]) 里面选数 , 剩下 (m) 个数时的和,容易得到递推式:

[f(n,m)=f(n-1,m)+f(n,m)*(n-1) ]

看 (n-1) 选不选就能够得出来 , 边界: (f(0,0)=1)
这个递推式和第一类斯特林数的式子长的一模一样,所以: (f(n,m)=left [ egin{matrix}n \ mend{matrix} ight ]_u)(无符号)

那么展开上升幂得到:

[large x^{overline n}=sum_{i=0}^n left [ egin{matrix}n \ iend{matrix} ight ]_ux^i ]

是不是和二项式定理很像

对于下降幂:
似乎可以理解为通过上升幂容斥得来:

[large x^{underline n}=sum_{i=0}^n (-1)^{n-i}left [ egin{matrix}n \ iend{matrix} ight ]_u x^i ]

其实也可以直接写成有符号第一类斯特林数:

[large x^{underline n}=sum_{i=0}^n left [ egin{matrix}n \ iend{matrix} ight ]_s x^i ]

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2.第二类斯特林数

含义: 把 n 个有标号的球放入 m 个无标号的盒子里 , 不允许空盒的方案数

递推式:

[left { egin{matrix}n \ mend{matrix} ight } =m*left { egin{matrix}n-1 \ mend{matrix} ight } +left { egin{matrix}n-1 \ m-1end{matrix} ight } ]

理解: 新来一个球 , 要么放入原有的盒子,要么放入一个新的盒子

常用公式(推导略):

1.通项公式:

[large left { egin{matrix}n \ mend{matrix} ight } =frac{1}{m!}*sum_{i=0}^m (-1)^i*{mchoose i}*(m-i)^n ]

拆开组合数可以发现是卷积的形式,可以用 (NTT) 预处理 (n)个球的时候的第二类斯特林数

2.斯特林展开

[x^n=sum_{j=0}^x {x choose j}*(j!)*left { egin{matrix}n \ jend{matrix} ight } ]

把第二类斯特林数通项公式用二项式反演定理反演回去即可
由于当(j>n)时,原式子的贡献为0,所以其实只用枚举 (j) 到 (min(n,x))

可以写成下降幂的形式:

[x^n=sum_{j=0}^x left { egin{matrix}n \ jend{matrix} ight }x^{underline j} ]

当 (j>x) 时 下降幂变为 0 ,所以可直接写成:

[large x^n=sum_{i=0}^n left { egin{matrix}n \ iend{matrix} ight }x^{underline i} ]

这就很优美了

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4.贝尔数

含义: 把 1 (sim) n 拆分成若干无序集合的方案数

bell数其实是第二类斯特林数的前缀和 , 可以理解为把 n 个有标号的球放入 n 个无标号的盒子里 , 允许空盒的方案数

递推式:

[B_{n+1}=sum_{i=0}^{n}{nchoose i}B_i,B_0=1 ]

性质:

1. 若 (p) 是任意质数: (B_{n+p}equiv B_n+B_{n+1} (mod p))

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5.伯努利数

满足:

[B_0=1 ]

[sum_{i=0}^n{n+1choose i}B_i=0 ]

化简移项

[B_n=-frac{1}{n+1}sum_{i=0}^{n-1} {n+1choose i}B_i ]

其生成函数为:

[G_e(x)=frac{x}{e^x-1} ]

(e^x)泰勒展开后多项式求逆在(O(nlogn))的复杂度内求出前(n)项

可以用来求自然幂数和:

[S_k(n)=sum_{i=1}^n i^k=frac{1}{k+1}sum_{i=1}^{k+1} {k+1choose i}{B_{k+1-i}}(n+1)^i ]

(不定期更新...)