【LuoguP5206】[WC2019] 数树

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题意

定义 (F(T_1,T_2)=y^{n-common}) 其中 (common) 为两棵树 (T_1,T_2) 的公共边条数。

三种问题
1.给定 (T_1,T_2)
2.给定 (T1)，(T_2)任意
3.均任意

Sol

第一种 std::set<int> 存边即可

这道题的关键在第二问。

考虑要求的式子：
我们令 (c) 是重边条数。

[ans=sum_{T_2} y^{n-c}=y^nsum_{T_2}y^{-c} ]

一个显然的想法就是枚举 (c) 具体是多少然后容斥计算。

但是这里有一个更为方便的方法。
因为限制等价是恰好有 c 条重边，然后贡献是一个 (x^k) 的形式，我们可以套用一下二项式定理。

[ans= y^nsum (y^{-1}-1+1)^c\ ans= y^nsum sum_{i=0}^c {cchoose i}(y^{-1}-1)^i\ ]

容易发现即是每一个重边集合的子集都会贡献一次 ((y^{-1}-1)^i) 的答案，其中 (i) 代表了重边集合的大小。

这样子答案就变成了:

[ans=y^nsum_{Esubseteq E_{T_1}} (y^{-1}-1)^{|E|}*F(E) ]

其中 (F(E)) 表示的是一棵含有 (E) 这个边集的的数目。

这个大力用(prufer)序列推式子可以得出:
(F(E)=n^{m-2}prod_{i=1}^m size_i)
令 (m) 是边集形成的连通块个数。

回代:

[ans=y^nsum_{Esubseteq E_{T_1}} (y^{-1}-1)^{|E|}n^{m-2}prod_{i=1}^m size_i ]

显然我们有 (|E|=n-m)
为了方便我们把所有和 m 无关的东西往外面放:

[ans=(1-y)^n*n^{-2}sum_{Esubseteq E_{T_1}} igg((y^{-1}-1)^{-1}nigg)^mprod_{i=1}^m size_i ]

这个东西只和连通块个数及大小有关。
看到后面带有乘法操作，那么很容易想到思考一下组合意义。

可以认为就是每一个连通块里面选出一个关键点的方案数。
那么我们就是要求把树 (T_1) 分成若干连通块并在每一个块内选取一个关键点的方案数的和，每多选出一个连通块对答案的贡献就乘上一个 系数 (K=n(y^{-1}-1)^{-1})

这个就可以直接树形 (dp) (O(n)) 解决了，设 (f[i][0/1]) 就行了。

接下来就是第三问了，这里显然会用到生成函数了。

答案的式子就是多了个枚举:

[ans=(1-y)^n*n^{-2}sum_{T_1}sum_{Esubseteq E_{T_1}} igg((y^{-1}-1)^{-1}nigg)^mprod_{i=1}^m size_i ]

我们其实在式子中就没有用到过 (T_1)，所以它也是个凑方案数的:

[ans=(1-y)^n*n^{-2}sum_{E} F(E)igg((y^{-1}-1)^{-1}nigg)^mprod_{i=1}^m size_i ]

乘上一个含有这种边集的树的方案数就行了，按照之前的结论:

[ans=(1-y)^n*n^{-2}sum_{E} n^{m-2}igg((y^{-1}-1)^{-1}nigg)^mprod_{i=1}^m size_i^2 ]

[ans=(1-y)^n*n^{-4}sum_{E} igg(n^2(y^{-1}-1)^{-1}igg)^mprod_{i=1}^m size_i^2 ]

美化一下式子，令 (B=(1-y)^n*n^{-4},K=n^2(y^{-1}-1)^{-1})

[ans=Bsum_{E} K^mprod_{i=1}^m size_i^2 ]

这个生成函数构造很明显了:

设 (g_i=K*i^2*i^{i-2}=K*i^i) 就是 (i) 个点一个连通块时的后面那个式子的贡献(后面那个是这种树的方案数)
设 (EGF) : (G(x)=sum_{i=1} frac{g_ix^i}{i!})
用指数型生成函数，卷积就是合并两个连通块了。
所以我们似乎要求:

[sum_{i=1}^n G(x)^i ]

注意到我们会算重，那么应该是:

[sum_{i=1}^n frac{G(x)^i}{i!} ]

因为连通块之间是无序的。
所以这东西就是一个 (e^{G(x)}) 就做完了。

多项式 (exp) 即可。

code:

#include<bits/stdc++.h>
#define Set(a,b) memset(a,b,sizeof(a))
#define Copy(a,b) memcpy(a,b,sizeof(a))
#define Clear(a,_begin_,_end_) for(int i=_begin_;i<_end_;++i) a[i]=0
using namespace std;
const int N=1e5+10;
const int mod=998244353;
template <typename T> inline void init(T&x){
	x=0;char ch=getchar();bool t=0;
	for(;ch>'9'||ch<'0';ch=getchar()) if(ch=='-') t=1;
	for(;ch>='0'&&ch<='9';ch=getchar()) x=(x<<1)+(x<<3)+(ch-48);
	if(t) x=-x;return;
}
typedef long long ll;
template<typename T>inline void Inc(T&x,int y){x+=y;if(x>=mod) x-=mod;return;}
template<typename T>inline void Dec(T&x,int y){x-=y;if(x <  0) x+=mod;return;}
template<typename T>inline int fpow(int x,T k){int ret=1;for(;k;k>>=1,x=(ll)x*x%mod) if(k&1) ret=(ll)ret*x%mod;return ret;}
inline int Sum(int x,int y){x+=y;if(x>=mod) return x-mod;return x;}
inline int Dif(int x,int y){x-=y;if(x < 0 ) return x+mod;return x;}
int n,y,op;
namespace Task1{
	set<int> E[N];
	void work(){
		int u,v;
		for(int i=1;i<n;++i) {
			init(u),init(v);if(u>v) swap(u,v);
			E[u].insert(v);
		}int cnt=0;
		for(int i=1;i<n;++i) {
			init(u),init(v);if(u>v) swap(u,v);
			if(E[u].find(v)!=E[u].end()) ++cnt;
		}cout<<fpow(y,n-cnt)<<endl;
	}
}
namespace Task2{
	int f[N][2];
	struct edge{int to,next;}a[N<<1];
	int head[N],cnt=0,iy;
	inline void add(int x,int y){a[++cnt]=(edge){y,head[x]};head[x]=cnt;}
	void dfs(int u,int fa){
		f[u][0]=1,f[u][1]=1;
		for(int v,i=head[u];i;i=a[i].next) {
			v=a[i].to;if(v==fa) continue;dfs(v,u);
			f[u][1]=Sum((ll)f[u][1]*((ll)f[v][0]*iy%mod+f[v][1])%mod,(ll)f[u][0]*f[v][1]%mod*iy%mod);
			f[u][0]=(ll)f[u][0]*((ll)f[v][0]*iy%mod+f[v][1])%mod;
		}
		f[u][0]=(ll)f[u][0]*y%mod;
		f[u][1]=(ll)f[u][1]*y%mod;
		return;
	}
	void work(){
		if(y==1) return void(printf("%d
",fpow(n,n-2)));
		for(int i=1;i<n;++i){int u,v;init(u),init(v);add(u,v),add(v,u);}
		int base=(ll)fpow(1-y+mod,n)*fpow(n,mod-3)%mod;
		y=(ll)fpow(fpow(y,mod-2)-1,mod-2)*n%mod;
		iy=fpow(y,mod-2),dfs(1,0);int ans=f[1][1];
		ans=(ll)ans*base%mod;
		printf("%d
",ans);
		return;
	}
}
namespace Task3{
	const int MAXN=N<<2;
	int rader[MAXN];
	const int SIZE=sizeof(rader);
	int wn[30],iwn[30],Inv[MAXN];
	inline void Calcw(){for(int i=0;i<30;++i) wn[i]=fpow(3,(mod-1)/(1<<i)),iwn[i]=fpow(wn[i],mod-2);}
	inline void Calc_Inversion(){Inv[1]=1;for(int i=2;i<MAXN;++i) Inv[i]=(ll)(mod-mod/i)*Inv[mod%i]%mod;}
	inline int Init(int m){
		int len=1,up=-1;for(;len<m;len<<=1,++up);
		for(int i=0;i<len;++i) rader[i]=(rader[i>>1]>>1)|((i&1)<<up);
		return len;
	}
	inline void NTT(int*A,int n,int f){
		for(int i=0;i<n;++i) if(rader[i]>i) swap(A[rader[i]],A[i]);
		for(int i=1,h=1;i<n;i<<=1,++h){
			int W=(~f)? wn[h]:iwn[h];
			for(int j=0,p=i<<1;j<n;j+=p)
				for(int w=1,k=0;k<i;++k,w=(ll)w*W%mod) {
					int X=A[j|k],Y=(ll)A[j|k|i]*w%mod;
					A[j|k]=Sum(X,Y),A[j|k|i]=Dif(X,Y);
				}
		}if(!~f) for(int i=0;i<n;++i) A[i]=(ll)A[i]*Inv[n]%mod;
		return;
	}
	int fac[N],finv[N];
	inline void Mul(const int*a,const int*b,int*c,const int n,const int m) {
		int L=n+m-1;int len=Init(L);static int A[MAXN],B[MAXN];
		for(int i=0;i<n;++i) A[i]=a[i];for(int i=0;i<m;++i) B[i]=b[i];
		Clear(A,n,len);Clear(B,m,len);NTT(A,len,1),NTT(B,len,1);
		for(int i=0;i<len;++i) c[i]=(ll)A[i]*B[i]%mod;
		NTT(c,len,-1);return;
	}
	inline void Poly_Inv(const int*F,int*I,const int n){
		if(n==1) {memset(I,0,SIZE);I[0]=fpow(F[0],mod-2);return;}
		Poly_Inv(F,I,(n+1)>>1);int L=n<<1,len=Init(L);
		static int A[MAXN];for(int i=0;i<n;++i) A[i]=F[i];Clear(A,n,len);
		NTT(I,len,1);NTT(A,len,1);
		for(int i=0;i<len;++i) I[i]=Dif(Sum(I[i],I[i]),(ll)I[i]*I[i]%mod*A[i]%mod);
		NTT(I,len,-1);Clear(I,n,len);return;
	}
	inline void Direv(int*A,const int n){for(int i=0;i<n;++i) A[i]=(ll)A[i+1]*(i+1)%mod;A[n-1]=0;return;}
	inline void Integ(int*A,const int n){for(int i=n-1;i;--i) A[i]=(ll)A[i-1]*Inv[i]%mod; A[0]=0;return;}
	inline void Poly_Ln(const int*F,int*L,const int n) {
		static int A[MAXN],B[MAXN];for(int i=0;i<n;++i) A[i]=F[i];
		Direv(A,n);Poly_Inv(F,B,n);Mul(A,B,L,n,n);
		int TL=(n<<1)-1;Clear(L,n,TL);Integ(L,n);return;
	}
	inline void Poly_Exp(const int*F,int*E,const int n){
		if(n==1) {memset(E,0,SIZE);E[0]=1;return;} static int A[MAXN];
		Poly_Exp(F,E,(n+1)>>1);Poly_Ln(E,A,n);
		for(int i=0;i<n;++i) A[i]=Dif(F[i],A[i]);Inc(A[0],1);
		Mul(E,A,E,n,n);int TL=(n<<1)-1;Clear(E,n,TL);return;
	}
	void work(){
		if(y==1) return void(printf("%d
",fpow(n,(n-2)<<1)));
		Calcw(),Calc_Inversion();
		int base=(ll)fpow(1-y+mod,n)*fpow(n,mod-5)%mod;
		y=(ll)fpow(fpow(y,mod-2)-1,mod-2)*n%mod*n%mod;
		fac[0]=finv[0]=1;
		for(int i=1;i<=n;++i) fac[i]=(ll)fac[i-1]*i%mod,finv[i]=(ll)finv[i-1]*Inv[i]%mod;
		static int F[MAXN];
		for(int i=1;i<=n;++i) F[i]=(ll)y*fpow(i,i)%mod*finv[i]%mod;
		static int E[MAXN];Poly_Exp(F,E,n+1);
		int ans=(ll)E[n]*fac[n]%mod;
		ans=(ll)ans*base%mod;
		printf("%d
",ans);
		return;
	}
}
int main()
{
	init(n),init(y),init(op);
	if(op==0) Task1::work();
	else if(op==1) Task2::work();
	else if(op==2) Task3::work();
	return 0;
}