UVA 11464 偶数矩阵（递推 | 进制）

题目链接：https://vjudge.net/problem/UVA-11464

一道比较好的题目。

思路如下：

如果我们枚举每一个数字“变”还是“不变”，那么需要枚举$2^{255}$种情况，很显然不行。

那么我们就来优化一下：我们只枚举第一行的数，然后根据计算得出第二、三....行的数。

这样复杂度就优化到了$O(2^n imes n^2)$。

然后用$A[][]$和$B[][]$分别表示变化前后的矩阵。

那么现在的问题就简化成了如何枚举第一行和如何递推。

枚举第一行：运用了状压的思想，把一行数看成一个二进制数，然后$&(1<<c)$，看是否为1，由此我们就构造了一个如下图所示的矩阵。

递推方法：

求出$B[r-1][c]$的上、左、右数之和，如果为偶数，则$B[r][c]=0$，反之$B[r][c]=1$。

在递推中如果发现由$1$转变到$0$的情况，那么是不可能的。

AC代码：

#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<cstring>

using namespace std;

const int maxn=15;
const int INF=0x7f7f7f;
int n,A[maxn][maxn],B[maxn][maxn];

int check(int s){
    memset(B,0,sizeof(B));
    for(int c=0;c<n;c++){
        if(s&(1<<c)) B[0][c]=1;
        else if(A[0][c]==1) return INF;
    }
    for(int r=1;r<n;r++){
        for(int c=0;c<n;c++){
            int sum=0;
            if(r>1) sum+=B[r-2][c];
            if(c>0) sum+=B[r-1][c-1];
            if(c<n-1) sum+=B[r-1][c+1];
            B[r][c]=sum%2;
            if(A[r][c]==1&&B[r][c]==0) return INF;
        }
    }
    int cnt=0;
    for(int r=0;r<n;r++)
        for(int c=0;c<n;c++) if(A[r][c]!=B[r][c]) cnt++;
    return cnt;
}

int main(){
    int T;
    scanf("%d",&T);
    for(int k=1;k<=T;k++){
        scanf("%d",&n);
        for(int r=0;r<n;r++)
            for(int c=0;c<n;c++) scanf("%d",&A[r][c]);
        int ans=INF;
        for(int s=0;s<(1<<n);s++)
            ans=min(ans,check(s));
        if(ans==INF) ans=-1;
        printf("Case %d: %d
",k,ans);
    }
    return 0;
}