『数论』拓展欧几里得

//#define fre yes

#include <cstdio>

int exgcd(int a, int b, int &x, int &y) {
	int gcd;
    if(b == 0) {
        x = 1;
        y = 0;
        gcd = a;
    } else {
        gcd = exgcd(b, a % b, x, y);
        int x2 = x, y2 = y;
        x = y2;
        y = x2 - (a / b) * y2;
    } return gcd;
}

谈论数论不废话 ----- 拓展gcd

如何求解 (ax + by = c) ？

换个问题 如何求解 (ax + by = gcd(a, b)) ？

∵ 由求 $gcd $ 我们知道 (gcd(a, b) = gcd(b, a mod b))

那么很明显，通过这个等式我们就能求出一组特解

(ax + by = gcd(a, b))

(bx_2 + (a mod b)y_2 = gcd(b, a mod b))

(ax + by = bx_2 + (a mod b)y_2)

(ax + by = bx_2 + (a - (frac{a}{b}) imes b)y_2)

(ax + by = bx_2 + ay_2 - (frac{a}{b})by_2)

(ax + by = b(x_2 - (frac{a}{b})y_2) + ay_2)

所以我们就得到了

(x = y_2)
(y = x_2 - left lfloor frac{a}{b} ight floor y_2)

那么对于方程 (ax + by = c) 而言

如果 (c mod gcd(a,b) == 0) 就说明有解，解为 (t imes x,t imes y) 这个 (t) 为 (frac{c}{gcd(a,b)})

反之不等于则无解

正确性显然（两边同乘一个数显然结果成立，可以想象成去分母）

小拓展：对于 (ax + by = gcd(a, b)) 这个式子一定有无数个解，我们让 x 增加 b/gcd(a,b)，让 y 减少 a/gcd(a,b)，等式两遍仍然成立，从而求出所有 x, y 的通解