约数
约数简介
定义：
若整数 n 除以整数 d 的余数为 0，即 d 能整除 n， 则称 d 是 n，的约数，n 是 d 的倍数，记为 d|n
在算术基本定理中 (N)可被分解成下面这个样子
那么(N)的正约数个数为：
(N)的所有正约数和为：
求解(N)的正约数集合
- 试除法
$ qquad $ 如果一个数(x)是(N)的约数，那么(N/d≤sqrt N)也为(N)的约数。
$ qquad $ 因为约数总是成对出现，因此扫描 (x=1-sqrt N ∈Z)，尝试是否 (x|N)。但是我们要特判完全平方数，因为对于完全平方数(sqrt N ∈Z)。
int factor[1600], num = 0;
for(int i = 1; i * i <= n; i++) {
if(n % i == 0) {
factor[++num] = i;
if(i != n/i)
factor[++num] = n / i;
}
}
$ qquad $ 求(1-sqrt N)每个数的正约数集合——倍数法
基本思想：
不同于试除法，我们可以反过来考虑每个数(x),则以(x)为约数的数就是(x,2x,3x…)
vector<int> factor[SIZE];
for(int i = 1; i <= n; i++)
for(int j = 1; j <= n / i; j++)
factor[i*j].push_back(i);
//输出
for(int i = 1; i <= n ;i++) {
for(int j = 0; j < factor[i].size; j++)
printf("%d ",factor[i][j]);
putchar('
');
}
$ qquad $ 在小数据内((N∈[4,16]))，试除法是要快于倍数法的，复杂度为(O(Nsqrt N))
约数相关内容：
1.最大公约数|(gcd)
- 定义：
若自然数(x)满足 (x|a)和(x|b)，则称(x)是(a)是(b)的公约数，则(max(x))就是(a)和(b)的最大公约数，记为(gcd(a,b))。
同理，若同时满足(a|x)和(b|x)，则(x)是(a)和(b)的公倍数，在这样的(x)中最小的一个，为(a,b)的最小公倍数，记为(lcm(a,b))。
定理：
以上定义的证明读者可以自行尝试，也可以《参考算法竞赛进阶指南》
- 求解方法
在浅谈质因数分解中我们已经提到了求解(gcd)的算法：1.更相减损术 2.辗转相除法。
《九章算术》有：
以上两条定理很重要，这涉及我们后面的二进制优化(gcd)
欧几里得算法：
这样就得出了我们熟悉的辗转相除法：
//递归形式
int gcd(int a, int b) {
return b ? gcd(b, a % b) : a;
}
//非递归形式
int gcd(int a, int b) {
int temp;
while(b) {
temp=a % b;
a = b;
b = temp;
}
return a;
}
$ qquad qquad (欧几里得算法时间复杂度为)O(log(a+b))$。对于高精度算法，取模不容易实现，建议使用更相减损术代替。
$ qquad qquad (当然，)gcd$还可以优化(就是前面提到的二进制优化)。
- 为什么可以优化？因为辗转相除法运用了模运算，这样常数大运行慢，故用更相减损+二进制优化(gcd)
-
(a=0, quad return quad b; quad mid quad b=0, quad return quad a;)
-
(a<b,a quad xor= quad b, quad b quad xor= quad a, quad a quad xor= quad b;)(独特的二进制交换)
-
(a) & (1) 且 (b) & (1)，$ quad ans=2gcd(a >> 1,b>>1);$
-
(a) & (1) 且 ！(b) & (1)，$ quad ans=gcd(a >> 1,b);$
-
！(a) & (1) 且 (b) & (1)，$ quad ans=gcd(a,b >> 1);$
-
！(a) & (1) 且 ！(b) & (1)，$ quad ans=gcd(a - b,b)$。
//下面代码返回gcd(a,b)的值同时把b赋予这个值，不需要可以把&去掉
int gcd(int a,int &b) {
if(a == 0 || b == 0) return b = a + b;
int n = 0, m = 0;
for(; !(a & 1); a >>= 1, n++);
for(; !(b & 1); b >>= 1, m++);
n = m < n ? m : n;
while(a) {
if(a < b) { a ^= b, b ^= a, a ^= b;}
if(!(a -= b)) return b <<= n;
while(!(a & 1)) a >>= 1;
}
}
但注意上面代码在负数的时候是错误的，因为负数的右移(1)位和除(2)出不一样的，所以遇到负数时上面的位运算要用正常除法代替。
2.互质与欧拉函数
- 定义：
(∀a,b∈N)，若(gcd(a,b)=1)，则称(a,b)互质。
对于三个数及以上的情况类比即可，这里不再赘述，读者可以自行查阅相关资料。
欧拉函数
$ qquad $ (1-N)中与(N)互质的个数被称为欧拉函数，记为(φ(N))。
在算数基本定理中，(N=prod_{i=1}^m p_i^ {c_i})，则：
根据欧拉函数的计算式，我们只需要分解质因数，即可求出欧拉函数：
//参考代码(源于《算法竞赛进阶指南》)
int phi(int n) {
int ans = n;
for(int i = 2; i <= sqrt(n); i++)
if(n % i == 0) {
ans = ans / i * (i - 1);
while(n % i == 0) n /= i;
}
if(n > 1) ans = ans / n * (n - 1);
return ans;
}
- 欧拉函数的性质：
-
(∀n>1,1-n)中与(n)互质的数和为(n*φ(n)/2)。
-
若(gcd(a,b)=1)，即(a,b)互质，则(φ(ab)=φ(a)φ(b))。
-
设(p)为质数，若 (p mid n) 且 (p^2 mid n)，则(φ(n)=φ(n/p)*p)。
-
设(p)为质数，若 (p mid n) 且 (p^2 mid n)，则(φ(n)=φ(n/p)*(p-1))。
-
(sum_{d mid n}φ(d)=n)。
积性函数：
$ qquad $ 如果(gcd(a,b)=1)，有(f(ab)=f(a)f(b))，那么称函数(f)为积性函数
- 若(f)是积性函数，且在算术基本定理中(n=prod_{i=1}^m p_i^ {c_i})，则$ f(n)=prod_{i=1}^m f(p_i^ {c_i})$。
（第六点同为欧拉函数的性质）
(*)完全积性函数：
关于积性函数的拓展非常多，内容也比较深奥，下面简单介绍下：
常用积性函数如下
-
(φ(n)) —— 欧拉函数
-
(σ(n)) —— 约数和函数
-
(μ(n)) —— 莫比乌斯函数
-
(σ_0(n)) —— 约数个数函数
-
(σ_k(n)) —— 约数次数和函数
-
(gcd(n,k)) —— 最大公约数函数，当(k)固定时
-
(1(n)=1) ——这个我也不知道是什么
-
(f(n)=n)——我还是不知道是什么
$ qquad $还有一点，就是积性函数都是可以线性筛的
- 狄利克雷卷积
首先先补充下数论函数的定义：
-
陪域：包含值域的任意集合
-
数论函数：定义域为正整数，陪域为复数的函数
好了，我们可以开始介绍狄利克雷卷积了。
定义(f,g)为数论函数，则它们的狄利克雷卷积可以表示为(f*g)，设(h=f*g)：
若(f,g)是积性函数，显然，(h)也是积性函数。
证明
$ qquad $ 设(n = a*b)且(a,b)互质，即(gcd(a,b)=1)：
$ qquad $证毕。
运算法则
狄利克雷卷积的运算满足：
-
(f*g=g*f)（交换律）
-
((f*g)*h=f*(g*f))（结合律）
-
(f*(g+h)=f*g+f*h)（分配律）
-
若(f,g)是积性函数，则(f*g)也是积性函数。（性质）
狄利克雷卷积相关
下面还是回到欧拉函数：
$ qquad $ 我们可以利用 (Eratosthenes) 筛法，按照欧拉函数的计算式，在(O(NlogN))时间内求解出 (2-N)中每个数的欧拉函数。
int phi[SIZE];
void eluer(int n) {
for(int i = 2; i <= n; i++) phi[i] = i;
for(int i = 2; i <= n; i++)
if(phi[i] == i)
for(int j = i; j <= n; j += i;)
phi[j] = phi[j] / i * (i - 1);
}
$ qquad $ 但是既然说了积性函数都是可以线性筛的，那么欧拉函数如何优化成线性的呢？让我们来回顾质数线性筛的思想(质数筛法详解)，线性筛中，每个合数(n)只会被它的质因子筛一次，利用下面几条性质：
-
定理三：设 (p) 为质数，若 $p mid n (且) p^2 mid n(，则)φ(n)=φ(n/p)*p$。
-
定理四：设 (p) 为质数，若 $p mid n (且) p^2 mid n(，则)φ(n)=φ(n/p)*(p-1)$
我们就可以在筛选合数时运用这两条定理，从(φ(n/p))递推到(φ(n))。
关于质数筛法，因为有两种线性筛的写法，其实是大同小异的，但是为了读者方便，这里都给出：
//法一 ：
int v[SIZE], pri[SIZE], phi[SIZE], num;
void promoted_eluer(int n) {
for(int i = 2; i <= n; i++) {
if(v[i] == 0)
pri[++num] = i, phi[i] = i - 1;
for(int j = 1; j <= num && i * pri[j] <=n; j++) {
v[i * pri[j]] = 1;
phi[i * pri[j]]=
phi[i] * (i % pri[j] ? pri[j] - 1 : pri[j]);
if(i % pri[j] == 0) break;
}
}
}
//法二：
int v[SIZE], pri[SIZE], phi[SIZE], num;
void promoted_eluer(int n) {
for(int i = 2; i <= n; i++) {
if(v[i] == 0)
pri[++num] = i, phi[i] = i - 1, v[i] = i;
for(int j = 1; j <= num; j++) {
if(pri[j] > v[i] || pri[j] > n / i) break;
v[i * pri[j]] = pri[j];
phi[i * pri[j]]=
phi[i] * (i % pri[j] ? pri[j] - 1 : pri[j]);
}
}
}
※章末练习
(END)
(PS:)
以上讲解顺序及内容参考：李煜东《算法竞赛进阶指南》