前言
扯淡
之间写了一篇比较扯的博客 (FFT/NTT)，其实里面很多东西解释的有点复杂，基于本人对 (FFT) 更深入理解的情况下，再次写下这一篇博客。
此篇博客出于两个目的，一是为了巩固记忆，二是希望对 (FFT/NTT) 有初步了解的同学能更好理解算法。
阅读本文的一些要求
1、了解卷积（起码是多项式乘法）。
2、 有一定的数学基础。
3、 有较好的代码实现能力和思维能力。
- 如果不满足第 (1) 或 (2) 点，可以考虑阅读我上文所给出的博文；至于第三点，自己提升吧……
再探FFT
step1：优化过程
给定多项式 (A(x),B(x))，不妨设 (displaystyle A=sum_{i=0}^n a_ix^i)，(displaystyle B=sum_{i=0}^n b_ix^i)，求 (A*B) 的每项系数。
此问题暴力算法为 (O(n^2)) 的复杂度，正常水平的同学能够很轻松的实现。
但是面对数据较大的情况，显然暴力算法是无法满足需求的，应当考虑卷积的过程优化：
我们知道平面直角坐标系上 (n) 个点能恰好表示一个 (n) 次函数。显然 (n) 次函数的表达式种有 (n) 个未知数，则 (n) 个点创造了 (n) 个一元 (n) 次方程，这样便可以求出整个 (n) 次函数。因为上面的式子其实也是可以看做函数的（只求系数，也就是对应的未知数），所以我们考虑把用点来表示上面的多项式。
定义多项式(F(x))：
我们知道，(1)个n元一次方程最少需要(n)个式子求解，而我们把系数表达(F(x))抽象为一个函数(F(x))，那么这个函数至少需要(n+1)个点确定下来，那么我们任取(n+1)个不同的数构成集合(U={k_1,k_2,…,k_{n+1}})，对(F(x))分别求值得到一个新的集合，那么将两个集合合并成点集，有：
[F^{d}(x)={(k_1,F(k_1)),k_2,F(k_2),…,(k_{n+1},F(n+1))} ](F^{d}(x)) 即为多项式 (F(x)) 的点值表达式。
（引用于我之前写的博客）
那么我们对 (A(x),B(x)) 分别求出其对应的点值表达，则 (A*B iff A^{d}(x)*B^{d}(x))。
进一步的可以简化计算，也就是我们对 (A,B) 取相同的“横坐标”，即集合 ({k_1,k_2,…,k_{2n+1}})，则可以得到：
取 (2n+1) 个不同的点是因为两个 (n) 次的多项式相乘，最高次项有 (2n) 次，也就需要 (2n+1) 个点来表示。
- 对点值表示下多项式乘法，可以理解为画两个函数图像，对二图像上横坐标相同的点纵坐标相乘，显然得到的是卷积后的多项式所表示的函数。
接下来文章中出现的 (n) 默认为 (2) 的次幂。
step2：处理后事
问题来了，我们如何将多项式快速转化成点值表达，并且将点值表达转换回系数表达呢？
为了问题能快速解答，我们需要利用一组特殊的点，也就是 (n) 次单位根。（不知道的回去看博客）
严格意义上我们定义满足 (x^n=1(x∈ ext{C})) 的 (x) 的解集为 ({omega_{n}^k|k=0,1,2,..,n-1})。
结合上面这张图简单加深下印象。
显然 (n) 次单位根就是从 (x) 轴（实轴）正半轴开始，将圆等分为 (n) 份。
简记 (omega_n^1) 为 (omega_{n})，易得 (omega_{n}= ext{exp}frac{2pi i}{n}=(cosig(frac{2π}{n} ig),sinig(frac{2π}{n} ig)))（据欧拉公式）。
- 单位根几个简单的性质：
1、(omega_n^0=1)
2、(omega_n^k=omega_n^{kmod n})（周期性，显然）
3、(omega_n^{k+n/2}=-omega_n^k)（由三角表达式可以得到）
4、(omega_{2n}^{2k}=omega_n^k)
看起来这非常特殊，尤其是第四点，每次范围折半，可能可以分治！
step3：实践，DFT！
考虑将多项式 (F(x)) 转化为点值表达，带入的点值用单位根。
- 注意：多项式仅有 (n-1) 项，而不是 (n) 项，不然会少一个点而不能表达！具体操作的时候可以直接把 (n) 拓展到大于 (n) 的 (2) 的整数次幂。
我们考虑一种分治方式：
设多项式 (FL(x))、(FR(x))：
则：
这样划分的方式使得分治时左右比较相似。接下来带入单位根并考虑性质：
当 (k<frac{n}{2})：
利用单位根性质得（(n) 为 (2) 的整数次幂）：
这样就满足分治的式子了，可以对 (FL(x),FR(x)) 分别计算。
当 (k<frac{n}{2})，考虑 (k+n/2)：
利用性质 (2,3,4) 可以得到：
也满足分治的情况，分别计算。
归纳
设 (k<n/2)，则：
发现两个式子只差了一个 (omega_{n}^{k}) 的符号，因此合并计算，且合并后即为原多项式的点值表达。
时间复杂度 (O(n ext{ log }n))。
代码比较简单不放了，可以看原博客。
step4：更进一步，IDFT！
现在已知 (A(k)=displaystyle sum_{i=0}^{n-1}a_i*(omega_{n}^k)^i)，求原多项式系数 (a_i)，可以比较简单的构造出矩阵：
根据单位根的对称性质不妨构造矩阵：
上面的系数矩阵记为 (mathbf V)，则可以比较简单的证明：(frac{1}{n}mathbf D = mathbf V^{-1})。
则可以得到 (IDFT) 的式子其实就是 (DFT) 中单位根取相反数：
也就是做 (DFT) 的时候把 (omega_n^{k}) 换成 (omega_n^{-k})。
更详细的证明可以看 OI Wiki，或者可以尝试用单位根反演证明（本质上就是反演）。
一些优化
递归版的 (FFT) 比较容易 (TLE)，空间占用也较大，可以考虑把递归改成循环实现。
考虑一开始按照奇偶性去分治的性质，可以理解为：
考虑对 (A) 做一次变换，将 (A) 变为 ({A_0, A_2, A_4, A_6, ...}), ({A_1, A_3, A_5, A_7, ...})
观察二进制位，可以发现本质上是按第 (1) 位二进制位为关键字进行排序。
再变换一次，第一个序列变为 ({A_0, A_4, ...}), ({A_2, A_6, ...}) 观察二进制位，可以发现本质上是按第 (2) 位二进制位为关键字进行排序。
于是整个变换的过程，相当于我们分别以第 (1) 位二进制位、第 (2) 位二进制位、第 (3) 位二进制位……为关键字进行排序，也就是从低位到高位进行比较排序。可以注意到，这一方法和我们平时比较两个整数大小（从高位到低位比较）是相反的，所以整个变换相当于以二进制位翻转后的下标为关键字进行排序。
这也就是 (FFT) 蝴蝶变换，转化递归为循环迭代。
可以结合图理解下：
（图源网络）
实现
递归
(先占坑)
蝴蝶迭代
(先占坑)
再探 NTT
step1：寻找替身
当 (FFT) 拥有了模数，他就裂开了……因为复数域是不好取模的，所以考虑是否可以用一些特殊的整数代替。
设模数为 (p)，考虑模 (p) 意义一一组不同的整数可以代替单位根。我们希望这些数字都有共性，比如可以用一个底数表示，所以选择 数论原根。
原根具体的定义可以看之前那篇博客：
称 (g) 为模 (p) 的原根，当且仅当 ({g^0,g^1,…,g^{p-2}}) 在模 (p) 的意义下互不相同。
注意到之前所用的 (n) 为 (2) 的整数次幂，则需要尽量选择 (p=a*2^k+1) 这一形式的质数；换言之，也就是 (nmid p-1)。
则可以令 (omega_{n}^{1}equiv g^{frac{p-1}{n}}pmod p)，显然根据原根的定义，(g^{frac{p-1}{n}*k}(k=0,1,..,n-1)) 在模 (p) 意义下互不相同。
显然是与我们所要的单位根性质所一致的，并且仍有类似单位根的递推性质和对称性。
step2：替换，实现！
考虑多项式 (A(x))，在原根下的点值表达（(DFT)）：
反演（(IDFT)）：
然后同样做 (FFT) 即可。