数论基本定理

数论基本定理

(1).唯一分解定理

一句话：　　　
任何大于１的自然数，都可以唯一分解成有限个质数的乘积
例如对于大于1的自然数n，
N = p1r1p1r1 * p2r2p2r2 * p3r3p3r3 * * * * * * pnrnpnrn ( ps: p1,p2,p2都是质数 )
代码实现：

#include <cstdio>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <cstring>

using namespace std;

//利用唯一分解定理拿下所有的质因子 

const int maxn = 1e5+5;

int v[maxn];

int main(){
    int pos = 0;
    int t; cin>>t;
    for (int i = 2;i*i <= t;){
        bool flag = false;
        while ( t % i == 0 ) {
            if(!flag){
                flag = true;
                v[pos++] = i;
            } t /= i;
        }
        if(i == 2) i++;
        else i+= 2;//时间小优化 
    }
    if ( t != 1 ) v[pos++] = t;//判断最后一位是不是1,还是质数

    return 0;
}

用途：
( 1 ) ,
求一个数有几个因子
N = p1r1p1r1 * p2r2p2r2 * p3r3p3r3 * * * * * * pnrnpnrn

sum=(r1+1)(r2+1)(r3+1)∗∗∗∗∗(rn+1);sum=(r1+1)(r2+1)(r3+1)∗∗∗∗∗(rn+1);

( 2 ) ,求一个数所有的因子和
N = p1r1p1r1 * p2r2p2r2 * p3r3p3r3 * * * * * * pnrnpnrn

ans=p1r1+1−1p1−1∗p2r2+1−1p2−1∗p3r3+1−1p3−1∗∗∗∗∗∗pnrn+1−1pn−1ans=p1r1+1−1p1−1∗p2r2+1−1p2−1∗p3r3+1−1p3−1∗∗∗∗∗∗pnrn+1−1pn−1

( 3 ) ,转换GCD和LCM
N = p1r1p1r1 * p2r2p2r2 * p3r3p3r3 * * * * * * pnrnpnrn
M = p1l1p1l1 * p2l2p2l2 * p3l3p3l3 * * * * * * pnlnpnln

GCD=p1min(r,l1)∗p2min(l2,r2)∗p3min(l3,r3)∗∗∗∗∗∗pnmin(ln,rn)GCD=p1min(r,l1)∗p2min(l2,r2)∗p3min(l3,r3)∗∗∗∗∗∗pnmin(ln,rn)

LCM=p1max(r,l1)∗p2max(l2,r2)∗p3max(l3,r3)∗∗∗∗∗∗pnmax(ln,rn)LCM=p1max(r,l1)∗p2max(l2,r2)∗p3max(l3,r3)∗∗∗∗∗∗pnmax(ln,rn)

( 2 ) , 容斥定理

看下列Vann图：

表示成为公式如下：

|∪ni=1∗Ai|=∑C⊆B∗(−1)size(c)−1|∩e∈Ce||∪i=1n∗Ai|=∑C⊆B∗(−1)size(c)−1|∩e∈Ce|

用法：
如果要对n个物体进行选择，那么有多少种情况
我们可以考虑进行二进制枚举：
实现代码如下：
ad : 小练习

#include <cstdio>
#include <iostream>
#include <cstring>
#include <algorithm>

using namespace std;

typedef long long ll;

const int maxn = 1e5+5;

int v[maxn];

int main(){
    int t,n;
    while(scanf("%d",&t) && t)
    {
        int ss = 1; n = t;
        for (int i = 2;i * i <= t;){
            bool flag = false;
            while(t%i == 0){
                if(!flag){
                    flag = true;
                    v[ss++] = i;
                }t /= i;
            }
            if ( i == 2 ) i++;
            else i += 2;
        }
        ll sum = 0;
        if (t != 1) v[ss++] = t; ss -= 1;
        for (int i = 1;i < (1 << ss);i++){ // 这里以二进制的形式进行枚举
            ll cnt = 0,tmp = 1;
            for (int j = 1; j <= ss ;j++){
                if ( i >> (j-1) & 1 )  {
                    cnt++;
                    tmp = tmp * v[j];
                } 
            }
            if(cnt & 1) sum += n  / tmp;
            else sum -= n / tmp;
        }
        printf("%d
",n - sum);
    }
    return 0;
}
/* 题目要求1..n-1中与n互质的数的个数 */