1459: GCD与LCM [数学]（基础数论）

题目描述

Ocean某天遇到了一个很简单的数学题，但是他的大脑已经超负荷了。现在请你帮帮他吧：

已知D = GCD(x, y) + LCM(x, y)，求合法组合(x, y)总数，其中x > 0且y > 0。

输入

第一行输入一个整数T，代表有T组测试数据。

接下来每行输入一个整数D。

注：1<=T,D<=105。

输出

对每组测试数据，输出一个整数代表可能出现的组合数。

样例输入

样例输出

1
2
3

提示

GCD：最大公约数

LCM：最小公倍数

样例中：

若D=2，可能有①x=1，y=1；

若D=3，可能有①x=1，y=2②x=2，y=1

若D=4，可能有①x=1，y=3②x=2，y=2③x=3，y=1

D = L + G 。

则 x = G * a . y = G * b .
        x * y = G * G * a * b
        x * y = G * L .
        联立上式子： a * b = L / G = (D-G) / G = D/G -1
        关键式子： a * b = D / G -1 （注意这里D/G 一定是整数（因为L/G 一定是整数），同时a和b一定是互质的（如果不是互质的话，就不能够满足G为最大公因数）
就是针对这个式子，开始化简，减少时间复杂度。
令 a * b = z .
z = D/ G - 1 .对于式子的右边值，我们可以遍历1-sqrt(D), 关键是知道了a * b的值z，之前已经用了sqrt的时间复杂度，接下来的只能够用O(1)的了，我们怎么用o(1)处理有多少对互质的数相乘为z呢？这里想起来之前写的一道题，可以o(n)预处理求出n以内任意数的因子个数，感觉可以从这个筛法中取得。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int MAXN = 1e5+11;
#define LL long long

LL gcd(LL a,LL b){ return b==0?a:gcd(b,a%b); }
int num[MAXN+2];
int fac[MAXN+2][250],cnt[MAXN+2];
void init(){
    num[1]=1; num[0]=0;
    for(LL i=1;i*i<=MAXN;i++){// 这里可以同时筛选 两个
        for(LL j=i;j*i<=MAXN;j++){
            fac[i*j][cnt[i*j]++]=j;
            if(i==j) continue;
            if(gcd(i,j)==1) num[i*j]+=2;
        }
    }
}

LL solve(int n){
    LL ans=0;
    for(int i=0;i<cnt[n];i++){
        int G=fac[n][i];
        ans+=num[n/G-1];
        if(n/G!=G) ans+=num[G-1];
    }
    return ans;
}

int main(){
    init();
    int T;scanf("%d",&T);
    while(T--){
        int n;scanf("%d",&n);
        if(n==1) puts("0");
        else printf("%lld
",solve(n));
    }
return 0;
}