Dijkstra算法（求单源最短路径）

Dijkstra算法//原链接

1.定义概览

Dijkstra(迪杰斯特拉)算法是典型的单源最短路径算法，用于计算一个节点到其他所有节点的最短路径。主要特点是以起始点为中心向外层层扩展，直到扩展到终点为止。Dijkstra算法是很有代表性的最短路径算法，在很多专业课程中都作为基本内容有详细的介绍，如数据结构，图论，运筹学等等。注意该算法要求图中不存在负权边。

问题描述：在无向图 G=(V,E) 中，假设每条边 E[i] 的长度为 w[i]，找到由顶点 V0 到其余各点的最短路径。（单源最短路径）

 

2.算法描述

1)算法思想：设G=(V,E)是一个带权有向图，把图中顶点集合V分成两组，第一组为已求出最短路径的顶点集合（用S表示，初始时S中只有一个源点，以后每求得一条最短路径 , 就将加入到集合S中，直到全部顶点都加入到S中，算法就结束了），第二组为其余未确定最短路径的顶点集合（用U表示），按最短路径长度的递增次序依次把第二组的顶点加入S中。在加入的过程中，总保持从源点v到S中各顶点的最短路径长度不大于从源点v到U中任何顶点的最短路径长度。此外，每个顶点对应一个距离，S中的顶点的距离就是从v到此顶点的最短路径长度，U中的顶点的距离，是从v到此顶点只包括S中的顶点为中间顶点的当前最短路径长度。

2)算法步骤：

a.初始时，S只包含源点，即S＝{v}，v的距离为0。U包含除v外的其他顶点，即:U={其余顶点}，若v与U中顶点u有边，则<u,v>正常有权值，若u不是v的出边邻接点，则<u,v>权值为∞。

b.从U中选取一个距离v最小的顶点k，把k，加入S中（该选定的距离就是v到k的最短路径长度）。

c.以k为新考虑的中间点，修改U中各顶点的距离；若从源点v到顶点u的距离（经过顶点k）比原来距离（不经过顶点k）短，则修改顶点u的距离值，修改后的距离值的顶点k的距离加上边上的权。

d.重复步骤b和c直到所有顶点都包含在S中。

 

执行动画过程如下图

                        

代码如下：

//算法目的：求出每个点到初始点的最小距离。  
//算法步骤：以1为初始点，不断跟新邻接点到1的距离，选取最近邻接点，重复跟新   
#include<stdio.h>  
#include<string.h>  
#define INF 0x3f3f3f  
  
int map[105][105],vis[105],dis[105],n;  
  
void Dijkstra(int x)  
{  
    int min,i,j;  
    memset(vis,0,sizeof(vis));  //vis数组表示某个点是否被访问过，访问过为1，未访问为0   
    memset(dis,INF,sizeof(dis));//dis表示每个点到起点的最小距离，初值设为INF方便求最小值   
    dis[1]=0;// 1到1的距离为0   
    vis[1]=1;// 从1开始，1被访问   
    for(i=0;i<n-1;i++)//此处的n代表循环次数，每次都会选中一个点，  
    {                 //每个点都需要被访问,现在已经选中了1这个点，故至多还要循环n-1次   
        for(j=1;j<=n;j++)//这个for循环更新选中的点的邻接点到初始点1的距离   
        {  
            if(vis[j]==0&&dis[x]+map[x][j]<dis[j])//dis[x]为上一个点到1的距离，map[x][j]为选中点与邻接点的距离   
            dis[j]=dis[x]+map[x][j];              //使邻接点到1的距离跟新为两者中最小的   
        }  
          
        min=INF;  
        for(j=1;j<=n;j++)//这个for循环是为了选点，选点原则：选取到初始点1的距离最小的点   
        if(vis[j]==0&&dis[j]<min)//这样可以保证dis的跟新为最小值   
        {  
            min=dis[j];  
            x=j;  
        }     
        vis[x]=1;  
    }  
}  
  
int main()  
{  
    int a,b,c,m,i,j;  
    while(~scanf("%d%d",&n,&m)&&(n!=0&&m!=0))  
    {  
        memset(map,INF,sizeof(map));//给map数组赋初值   
        for(i=0;i<m;i++)  
        {  
                scanf("%d%d%d",&a,&b,&c);  
                if(c<map[a][b])      //假如两个点重复出现且权值不同，选取最小的   
                map[a][b]=map[b][a]=c;//二维数组保存很方便   
        }  
        Dijkstra(1);  
        printf("%d
",dis[n]);  
    }  
    return 0;  
}