微分方程概述

微分方程简介：

1. 包含连续变化的自变量、未知函数及其导数的 方程
2. 常微分方程、偏微分方程
3. 微分方程的阶
4. 微分方程的解、通解、特解、初始条件，解析 解、数值解

微分方程模型：

什么时候需要建立微分方程模型？

1. 研究对象涉及某个运动过程 或物体随时间连续变化的规律
2. 可归结为研究函数变化规律的问题
3. 工程、经济管理、人口、环境、生态、交通等 众多领域有广泛应用

怎样建立微分方程模型？

1. 机理分析方法 如研究对象为数学、物理等领域的问题，利 用该领域定律、规律 对其它领域（如经济、医药等）问题，具体 分析领域机理，找出规律
2. 微元法：寻找一些微元之间的关系式，经常 需要对微元应用已知定律、规律
3. 模拟近似法

犯罪嫌疑人问题：

某公安局于晚上19:30发现一具尸体，当 天20:20，法医测得尸体温度为32.6℃， 一个小时后又测得尸体温度为31.4 ℃。假 定在这几个小时内室温一直为21.1 ℃。根 据案情线索警方确定张某为主要嫌疑人， 但张某矢口否认，并有证人称：“下午张 某一直在办公室，下午5点打了一个电话 后才离开。”从办公室到案发现场步行需 要5分钟。能否排除张某的嫌疑？

分析：

1. 排除张某作案嫌疑的主要依据 是看张某是否有作案时间，这需要知道被害人死亡的时间
2. 所以需要根据现在已有的线索，推测出被害人的死亡时间
3. 尸体温度随时间变化符合牛顿冷却定律，据此可以建立微分方程模型

假设：

1. 被害人遇害前体温为37 ℃

2. 符号说明：

   T(t)表示t时刻尸体的温度

   k表示散热系数

   T0=21.1 ℃表示环境温度

   t=0表示晚上20:20这一刻，所以 T(0)= 32.6 ，T(1)=31.4

[frac{dT}{dt}=k(T-T_0) ]

这是一个可分离变量的一阶线性微分方程

[解为:T(t)=T_0+C_e{^{kt}} ]

把T（0）=32.6，T（1）=31.4代入T（t）可得：

[egin{cases} T(0)=21.1+c=32.6\ T(1)=21.1+C_e{^k}=31.4 end{cases}\ Downarrow \C=11.5,k=-0.1102\ 令21.1+11.5_{e^{-0.1102t}}=37\ Downarrow\ t=-2.9399 ]

2.9399小时约为2小时56分，可知被害人遇害 时间大约为：下午8点20分-2小时56分=下午5 点24分 • 可见张某不能摆脱嫌疑！

容器漏水问题：

有一个半球形容器，高为1m，水从其底部 的小孔流出。小孔横截面积为1cm2 。开始时 容器内盛满水，分析水从小孔流出过程中容 器中水面高度h(水面与孔口中心的距离)随时 间t如何变化。

分析：

由流体力学可知，通过孔口横截面的水的体积V 对时间t的变化率可由以下公式计算

[frac{dV}{dt}=0.62Ssqrt{2gh} ]

其中0.62为流量系数，S为孔口横截面积，此处 S=1cm2 。

而由微元法，设在时间间隔[t, t+dt]内，水面高度由h下降到h+dh（dh<0），可得

[dV=-pi r^2dh\ 又quad r=sqrt{100^2-(100-h)^2}=sqrt{200h-h^2} ]

所以：

[dV=-pi(200h-h^2)dh ]

结合流体力学公式和微元法，可得：

[0.62Ssqrt{2gh}dt=-pi (200h-h^2)dh\ 初始条件为：h|_{t=0}=100 ]

解此方程，得到水面高度h与时间t的关系

[t=frac{pi}{4.65sqrt{2g}}(7 imes10^5-10^3h^{frac{3}{2}}+3h^{frac{3}{2}}) ]