寒假Day12：最小费用最大流问题入门

最小费用最大流相关概念

费用流即在网络流的基础上，给每条边都加了费用（费用有正有负）。

增广路：它的最大流量取决于增广路上流量最小的边。短板效应，最大容量取决于最短木板。 　　

求解费用流的思想：

• 在总流量最大的前提下求解总费用最小的流，即最小费用最大流。
• 通过SPFA算法进行增广，每一次增广之后都可以得出一个费用，所用费用相加即是最小费用。（因为SPFA是最短路算法，最短路使得每次增广的流的费用最小，所以所得即最小答案）

注意：如果存在两条边，但是费用不同的话无法合并。

　　　可以有负权边，但是不能有负权圈。

求解算法：MCMF算法（即SPFA+EK）。（SPFA用来计算最小费用路径，即增广路）

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最小费用最大流的变形：

1. 最大费用最小流：在添边的时候交换位置即可；
2. 最大费用最大流：在添边的时候把取边的费用的相反数，用最小费用最大流求解后对于答案取反，即可得到最大费用（权值）。见之后的博客POJ3680

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引入SPFA

先复习一下SPFA（因为图中可能会出现负的费用，所以不能用Dijkstra。）

（但是，在没有负环、单纯求最短路径的情况下，不建议使用SPFA，而是用Dijkstra。）

SPFA时间复杂度分析：

如果图是随机生成的，时间复杂度为 O(KM)（K可以认为是个常数，m为边数，n为点数）；

但是实际上SPFA的算法复杂度是 O(N*M)，但是出题人可以构造出卡SPFA的数据，让SPFA超时。

https://www.luogu.com.cn/blog/83547/spfa-suan-fa-jiao-xue  可以看一下这一篇，用静态邻接表（也就是链式前向星）实现。

我的SPFA模板：

void spfa(int x)
{
    for(int i=1; i<=N; i++)
    {
        dist[i]=inf;
        book[i]=0;
    }
    dist[x]=0;//源点到自身距离为0
    queue<int>Q;
    q.push(s);//源点入队
    book[x]=1;
    while(!Q.empty())
    {
        int u=Q.front();
        Q.pop();
        book[u]=0;
        for(int i=head[u]; i!=-1; i=edge[i].next)
        {
            int v=edge[i].to;
            if(dist[u]+edge[i].w<dist[v]) //如果不满足三角形不等式
            {
                dist[v]=dist[u]+edge[i].w;//更新答案
                if(book[v]==0) //如果不在队列
                {
                    Q.push(v);//则入队
                    book[v]=1;//进行标记
                }
            }
        }
    }
}

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 有待学习：

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待解决：

• 不明白为什么最小费用最大流中可以有负权边，但是不能有负权圈？？？