tip：
卡特兰数是组合数学中经常出现在计数问题的数列，出栈次序是卡特兰数的一个应用。 我们将入栈视为 +1，出栈视为 -1，则限制条件为在任意位置前缀和不小于 0。
卡特兰数公式：
卡特兰数前几项为：1, 1, 2, 5, 14, 42, 132, 429, 1430, 4862, 16796, 58786, 208012, 742900, 2674440, 9694845, 35357670, 129644790, 477638700, 1767263190, 6564120420, 24466267020, 91482563640, 343059613650, 1289904147324, 4861946401452。
实战：
T1：「BZOJ3907」网格
题干：
某城市的街道呈网格状，左下角坐标为 A(0,0)，右上角坐标为 B(n,m)，其中 n≥m。现在从 A(0,0) 点出发，只能沿着街道向正右方或者正上方行走，且不能经过图示中直线左上方的点，即任何途径的点 (x,y) 都要满足 x≥y，请问在这些前提下，到达 B(n,m) 有多少种走法。
题解：
一道 catalan 裸题。但是 n 不一定等于 m，所以我们就需要变换一下 catalan 的式子。catalan 的定义式就是两个组合数相减的形式，是一个单步容斥。
看一下上图，我们单步容斥减去的就是不合法的情况（紫框）。不合法的情况一定会碰到黄线，我们可以将碰到黄线以后的部分进行沿黄线翻折，这个翻折后的路径一定在紫框内，减去即可。即：
$ans=C_{n+m}^{n}-C_{n+m}^{m-1}$
（注意：高精减时注意开头的 0，高精乘低精时余数应是long long）
Code：
1 #include<cstdio>
2 #include<cstring>
3 #define $ 101010
4 #define ll long long
5 using namespace std;
6 int c1[$],c2[$],a1[$/10],a2[$/10],m,n,max1,max2,pr[$/10];
7 inline int max(int x,int y){ return x>y?x:y; }
8 inline void cut1(int x,int add){
9 for(register int i=2;i*i<=x;++i)
10 while((x%i)==0) x/=i,c1[i]+=add,max1=max(max1,i);
11 if(x>1) c1[x]+=add,max1=max(max1,x);
12 }
13 inline void cut2(int x,int add){
14 for(register int i=2;i*i<=x;++i)
15 while((x%i)==0) x/=i,c2[i]+=add,max2=max(max2,i);
16 if(x>1) c2[x]+=add,max2=max(max2,x);
17 }
18 inline void mul1(int yu=0){
19 a1[0]=a1[1]=1;
20 for(register int i=2;i<=max1;++i){
21 if(c1[i]==0) continue;
22 for(register int j=1;j<=c1[i];++j){
23 for(register int k=1,tmp=i;k<=a1[0];++k){
24 a1[k]=a1[k]*tmp+yu;
25 yu=a1[k]/10;
26 a1[k]%=10;
27 }
28 while(yu) a1[++a1[0]]=yu%10, yu/=10;
29 }
30 }
31 }
32 inline void mul2(int yu=0){
33 a2[0]=a2[1]=1;
34 for(register int i=2;i<=max1;++i){
35 if(c2[i]==0) continue;
36 for(register int j=1,tmp=i;j<=c2[i];++j){
37 for(register int k=1;k<=a2[0];++k){
38 a2[k]=a2[k]*tmp+yu;
39 yu=a2[k]/10;
40 a2[k]%=10;
41 }
42 while(yu) a2[++a2[0]]=yu%10, yu/=10;
43 }
44 }
45 }
46 inline void del(){
47 ll tmp=1,yu=0;
48 while(tmp<=a1[0]||tmp<=a2[0]){
49 if(a1[tmp]<a2[tmp]){
50 a1[tmp+1]--; yu=10;
51 }
52 pr[tmp]=a1[tmp]-a2[tmp]+yu; yu=0;
53 tmp++;
54 }
55 while(pr[tmp]==0&&tmp>1) tmp--;
56 pr[0]=tmp;
57 for(register int i=pr[0];i>=1;--i) printf("%d",pr[i]);
58 puts("");
59 }
60 signed main(){
61 scanf("%d%d",&n,&m);
62 for(register int i=n+1;i<=n+m;++i) cut1(i,1);
63 for(register int i=2;i<=m;++i) cut1(i,-1);
64 for(register int i=n+2;i<=n+m;++i) cut2(i,1);
65 for(register int i=2;i<=m-1;++i) cut2(i,-1);
66 mul1(); mul2(); del();
67 }
T2：「HNOI 2009」有趣的数列
题干：
我们称一个长度为 2n 的数列是有趣的，当且仅当该数列满足以下三个条件：
1、它是从 1 到 2n 共 2n 个整数的一个排列 {ai}；
2、所有的奇数项满足 $a_1<a_3<⋯<a_{2n−1}$，所有的偶数项满足 $a_2<a_4<⋯<a_{2n}$；
3、任意相邻的两项 $a_{2i−1}$ 与 $a_{2i}$ (1≤i≤n) 满足奇数项小于偶数项，即：$a_{2i−1}<a_{2i}$
对于给定的 n，请求出有多少个不同的长度为 2n 的有趣的数列，输出答案 mod P 的值。
题解：
题目可化简为： 把所有数分成两组A、B，且排序后 Ai 始终比 Bi 小的方案数。
很像卡特兰数的模型，我们把 1～2n 写出来，显然可以有顺序地向里填，对于一个数 i，要么填 A 要么填 B。那么这个时候 A 集合的大小一定要小于 B 集合。这就是一个卡特兰数了。
本题其实就是从左往右扫每个数，把放在奇数项看作入栈，偶数看作出栈，符合 $catalan$ 使用模型。
（注意本题若只用唯一分解定理，会 T 得很惨。。。需要写一个线性筛，将每一个数的最小质因子预处理一下）
线筛：
1 inline void euler(){ 2 lst[1]=1; 3 for(register int i=2;i<=2*n;++i){ 4 if(judge[i]==0) prime[++cnt]=i, lst[i]=i; 5 for(register int j=1;j<=cnt&&1ll*i*prime[j]<=2ll*n;++j){ 6 judge[i*prime[j]]=1; 7 lst[i*prime[j]]=prime[j]; 8 if(i%prime[j]==0) break; 9 } 10 } 11 }
Code：
1 #include<cstdio> 2 #include<cstring> 3 #include<cstdlib> 4 #define $ 2100010 5 #define ll long long 6 using namespace std; 7 int c[$],n,lst[$],prime[$],cnt,maxx; 8 ll ans=1,mod; 9 bool judge[$]; 10 inline int max(int x,int y){ return x>y?x:y; } 11 inline ll modd(ll x){ return x-(x/mod*mod); } 12 inline void cut(int x,int add){ 13 while(x!=1) maxx=max(maxx,lst[x]), c[lst[x]]+=add, x/=lst[x]; 14 } 15 inline void eular(){ 16 lst[1]=1; 17 for(register int i=2;i<=2*n;++i){ 18 if(judge[i]==0) prime[++cnt]=i, lst[i]=i; 19 for(register int j=1;j<=cnt&&1ll*i*prime[j]<=2ll*n;++j){ 20 judge[i*prime[j]]=1; 21 lst[i*prime[j]]=prime[j]; 22 if(i%prime[j]==0) break; 23 } 24 } 25 } 26 inline int qpow(ll a,int x,ll sum=1){ 27 for(;x;x>>=1,a=a*a%mod) if(x&1) sum=modd(sum*a); 28 return (int)sum; 29 } 30 signed main(){ 31 scanf("%d%lld",&n,&mod); 32 eular(); 33 //for(register int i=1;i<=n;++i) printf("%d %d ",i,lst[i]); 34 for(register int i=n+2;i<=n*2;++i) cut(i,1); 35 for(register int i=2;i<=n;++i) cut(i,-1); 36 for(register ll i=2;i<=maxx;++i) 37 if(c[i]>0) ans=modd(ans*qpow(i,c[i])); 38 printf("%lld ",ans); 39 }
T3：「AHOI 2012」树屋阶梯
题干：
暑假期间，小龙报名了一个模拟野外生存作战训练班来锻炼体魄，训练的第一个晚上，教官就给他们出了个难题。由于地上露营湿气重，必须选择在高处的树屋露营。小龙分配的树屋建立在一颗高度为 N+1 尺的大树上，正当他发愁怎么爬上去的时候，发现旁边堆满了一些空心四方钢材，经过观察和测量，这些钢材截面的宽和高大小不一，但都是 1 尺的整数倍，教官命令队员们每人选取 N 个空心钢材来搭建一个总高度为 N 尺的阶梯来进入树屋，该阶梯每一步台阶的高度为 1 尺，宽度也为 1 尺。如果这些钢材有各种尺寸，且每种尺寸数量充足，那么小龙可以有多少种搭建方法？（为了避免夜里踏空，钢材空心的一面绝对不可以向上）
题解：
显然每个凸出来的角各自都是一块，只有一个是覆盖了左下角的，那么就会把这个阶梯分成两个阶梯子问题。就有：
$f[n]=f[0]*f[n-1]+f[1]*f[n-2]+…f[n-1]*f[0]$
我们还可以令 $C_n$ 表示用 n 个长方形拼成 $size$ 为 $n$ 的三角梯形的方案数。
我们枚举最左下角的点属于哪个长方形。显然有n种可能，每种方法又把剩下的部分分成两个三角梯形（ $size$ 可能为 0 ）
我们可以得到：
$Catalan_n = sum_{i = 0}^{n-1} Catalan_i * Catalan_{n-i-1}$
标准 $Catalan$ 方程。
Code：
1 #include<cstdio>
2 #include<cstring>
3 #include<cstdlib>
4 #define $ 1055
5 #define ll long long
6 using namespace std;
7 int m,n,k,t,c[$],maxx,prime[$],lst[$],cnt,a[$];
8 bool judge[$];
9 inline int max(int x,int y){ return x>y?x:y; }
10 inline void cut(int x,int add){
11 while(x!=1) maxx=max(maxx,lst[x]),c[lst[x]]+=add, x/=lst[x];
12 }
13 inline void eular(){
14 lst[1]=1;
15 for(register int i=2;i<=n*2;++i){
16 if(!judge[i]) prime[++cnt]=i, lst[i]=i;
17 for(register int j=1;j<=cnt&&i*prime[j]<=n*2;++j){
18 judge[i*prime[j]]=1;
19 lst[i*prime[j]]=prime[j];
20 if(i%prime[j]==0) break;
21 }
22 }
23 }
24 inline void mul(int yu=0){
25 a[0]=a[1]=1;
26 for(register int i=2;i<=maxx;++i){
27 while(c[i]--){
28 for(register int j=1;j<=a[0];++j){
29 a[j]=a[j]*i+yu;
30 yu=a[j]/10;
31 a[j]%=10;
32 }
33 while(yu) a[++a[0]]=yu%10, yu/=10;
34 }
35 }
36 for(register int i=a[0];i>=1;--i) printf("%d",a[i]);
37 }
38 signed main(){
39 scanf("%d",&n); eular();
40 for(register int i=n+2;i<=n*2;++i) cut(i,1);
41 for(register int i=2;i<=n;++i) cut(i,-1);
42 mul();
43 }