第三部分主要讲的是倍增思想及其应用。
在Day3的整理中，我简要提到了倍增思想，我们来回顾一下。
倍增是根据已经得到的信息，将考虑的范围扩大一倍，从而加速操作的一种思想，它在变化规则相同的情况下，加速状态转移。
运用倍增方法预处理信息，可以加速询问。
如果题目的数据范围极大，线性时间也不够用，那就可以考虑倍增思想了。
1.快速幂
计算 a^x % p。
暴力是显然的，TLE。
其实就是想办法把x拆开。考虑先把它表示成二进制形式，我们可以用不超过logx个f[i]拼出我们想要的答案。
在x的二进制表示中，1表示“取”。二进制中的每一个1都表示2的i次方。
比如说计算a^100，100的二进制是01100100，可以看出在2^2，2^5，2^6位置是1，而这些数分别对应4,32,64，那么只需要把a^100拆分成a^64*a^32*a^4即可。
实现很容易，每次提取处最低的二进制位再除以2即可。
long long int fast_pow(long long int a,long long int x,long long int p){ long long int ans = 1; long long int sum = a % p; for (;x;x>>=1,sum = sum*sum%p) if (x&1) ans = ans*sum%p; return ans; }
2.树上祖先
给定一棵N个节点的树，告诉你每个节点的父亲是谁，做Q次询问，每次询问某个点的k倍祖先是谁。
暴力做法显然，O(QN)。
有一种优化是预处理出每个点向后跳1~B步的点是哪个，每次询问B步B步地跳，当B = √N时，复杂度取得最优O（N√N）。
改进一下这个优化，预处理出每个点向父亲跳2^i步是谁，这样每次至多跳logN步就能跳到目标位置。
假设跳k步，考虑k的二进制表示，二进制中的每一个1都表示2^i，拼凑k。
每跳一步相当于删去一个1.
我们设f[i][j]为第i个元素向父亲跳2^j步是谁，则边界是f[i][0]为第i个元素的父亲。
转移：f[i][j] = f[f[i][j]-1][j-1]
for (int i=1;i<=N;i++) for (int j=1;i+(1<<i)-1<=N,i++) f[i][j] = f[f[i][j]-1][j-1];
查询：
int q(int x,int k){ for (int i=N;i>=0;i--) if (k & (1 << i)) x = f[x][i]; return x; }
3.倍增LCA
参阅Day3整理
4.ST表
用来维护区间信息。对于重复信息只会贡献一次的信息，我们可以用ST表来实现高效查询。
还是倍增思想，预处理每个位置向后2^i长度的信息，假设我们要查询的是[L,R]，可以通过两段长度为2^k长度的区间覆盖[L,R]，k = floor(log(R-L+1))
以区间最小值举例，预处理时先枚举i再枚举j，f[i][j] = min(f[i-1][j],f[i-1][j+(1 << i-1)])
查询时,ans = min(f[k][l],f[k][r-(1 << k)+1])
ST表可以维护最大值，最小值，gcd等，但不能维护求和等信息，因为这样会重复计算。同时也不支持修改，所以是一个比较弱的数据结构。
不过，ST表可以完成树上LCA的查询。用它记录树的欧拉序，也就是说，在每次遍历到这个节点时都将其记录下来。
所谓欧拉序，就是记录你DFS一棵树的时候的遍历轨迹。
比如说这样一棵树：
它的欧拉序是ABDBACECFCA
可以知道，对于一个有N个节点的树，其欧拉序的长度为2N-1。
记x第一次出现的位置为fir[x]，有一个结论：
对于两个节点u,v，欧拉序[fir[u],fir[v]]这段区间中的深度最浅的那个节点，是lca(u,v)。
因为u,v之间的路径上的节点都会出现在这段区间。深度比u,v的lca的小的节点不会出现在这段区间。维护欧拉序中的每个位置，向后2^i的区间中深度最浅的节点是谁。
查询方式和刚才上边那个例子类似，用那个做法查询[fir[u],fir[v]]这一段的最小值就好。