整数拆分

题解

考虑 (K=1) 的做法

设 (F_{i,j}) 表示用 (m^k (kin [0,i])) 凑出 (j) 的方案数

不难发现由于每次转移只会加入 (m^{i+1}) 那么有用的状态只有 (jequiv n (mod m^i))

所以设 (F_{i,j}) 表示用 (m^k (kleq [0,i])) 凑出 (j imes m^i+(n mod m^{i})) 的方案数

[F_{i,j}=sumlimits_{k=0}^j F_{i-1,(j-k) imes m+lfloor frac {n mod m^{ i } }{m^{i-1}} floor} ]

可以观察并归纳证明 (F_{i,j}) 是一个关于 (j) 的 (i) 次多项式，所以只需要保留前 (i) 位的 $ DP $ 值，转移时通过拉格朗日插值求出用到的 (DP) 值来转移的即可，同样的只需要转移出前 (i+1) 项即可。

那么考虑求前缀和的问题，我们只需要在 $m^k (kin[0,log_m n]) $ 这些数中额外加入一个 (1) 即可

如何扩展到 (K>1) ?

考虑 (K) 次卷积等效于将这个数划分 (K) 个部分求方案数即可，那么只需要将原先的 $m^k (kin[0,log_m n]) $ 中每个数复制(K)遍，当做 (K) 个不同的数即可。

复杂度 (O(K^2log_m^2 n) imes) 巨大常数

#include<bits/stdc++.h>
#define LL long long
#define mod 1000000007
#define M 1410
using namespace std;
namespace IO{
    const int BS=(1<<20)+5; int Top=0;
    char Buffer[BS],OT[BS],*OS=OT,*HD,*TL,SS[20]; const char *fin=OT+BS-1;
    char Getchar(){if(HD==TL){TL=(HD=Buffer)+fread(Buffer,1,BS,stdin);} return (HD==TL)?EOF:*HD++;}
    void flush(){fwrite(OT,1,OS-OT,stdout),OS=OT;}
    void Putchar(char c){*OS++ =c;if(OS==fin)flush();}
    void write(int x){
        if(!x){Putchar('0');return;} if(x<0) x=-x,Putchar('-');
        while(x) SS[++Top]=x%10,x/=10;
        while(Top) Putchar(SS[Top]+'0'),--Top;
    }
    LL read(){
        LL nm=0,fh=1; char cw=getchar();
        for(;!isdigit(cw);cw=getchar()) if(cw=='-') fh=-fh;
        for(;isdigit(cw);cw=getchar()) nm=nm*10+(cw-'0');
        return nm*fh;
    }
}
using namespace IO;
LL n,m,p[M],top;
#define mul(a,b) ((LL)(a)*(LL)(b)%mod)
#define add(a,b) (((a)+(b))>=mod?((a)+(b)-mod):((a)+(b)))
#define mns(a,b) (((a)-(b))<0?((a)-(b)+mod):((a)-(b)))
int K,C[M][M],fac[M],ifac[M],tot,A[M],B[M],pre[M],suf[M],F[M],G[M],t[M],pw[M];
int qpow(int x,int sq){
    int res=1;
    for(;sq;sq>>=1,x=mul(x,x)) if(sq&1) res=mul(res,x);
    return res;
}
void build(){for(int i=0;i<=tot;i++) t[i]=mul(G[i],mul(ifac[i],((i^tot)&1)?mns(0,ifac[tot-i]):ifac[tot-i]));}
int calc(LL x){
    x%=mod; if(x<=tot) return G[x]; int res=0; pre[0]=x,suf[tot+1]=1;
    for(int i=1;i<=tot+1;i++) pre[i]=mul(pre[i-1],mns(x,i));
    for(int i=tot;i>=0;i--) suf[i]=mul(suf[i+1],mns(x,i));
    for(int i=0;i<=tot;i++){
        int t1=(i?pre[i-1]:1),t2=suf[i+1]; res=add(res,mul(t[i],mul(t1,t2)));
    } return res;
}
int main(){
    n=read(),m=read(),K=read(),p[0]=fac[0]=ifac[0]=1;
    if(!n){puts("1");return 0;}
    for(int i=0;i<M;i++){
        C[i][0]=1;
        for(int j=1;j<=i;j++) C[i][j]=add(C[i-1][j-1],C[i-1][j]);
        if(i) ifac[i]=qpow(fac[i]=mul(fac[i-1],i),mod-2);
    }
    while(p[top]<=(n+m-1)/m) p[top+1]=p[top]*m,top++; G[0]=1;
    for(int i=0;i<=K+1;i++) G[i]=C[i+K][K]; tot=K+1; build();
    for(int i=0;i<M;i++) pw[i]=(LL)i*(m%mod)%mod;
    for(int pos=1;pos<=top;pos++){
        LL WDCKW=((n%p[pos])/p[pos-1])%mod;
        for(int i=0;i<K;i++){
            for(int k=0;k<=tot+1;k++){
                if(k) F[k]=F[k-1];
                if(!i) F[k]=add(F[k],calc(pw[k]+WDCKW));
                else if(k) F[k]=add(F[k-1],calc(k)); else F[k]=calc(k);
            } tot++,memcpy(G,F,sizeof(int)*(tot+1)),memset(F,0,sizeof(int)*(tot+1)); build();
        }
    } printf("%d
",calc(n/p[top]));
    return 0;
}