浅谈深度优先搜索

一、问题引入

输入一个数n，输出1~n的全排列。

分析：我们可以先将问题形象化，假如有编号为1、2、3的3张扑克牌和编号为1、2、3的3个盒子，现在需要将这3张扑克牌分别放到3个盒子里面，并且每个盒子有且只能放一张扑克牌。那么一共有多少种不同的做法呢？

不难看出，一共会出现6种排列，分别是：123、132、213、231、312、321。

二、解决问题的步骤

1，现在我们来解决最基本的问题：如何往小盒子中放扑克牌。每一个小盒子都可能放1号、2号或者3号扑克牌，这需要一一尝试，在这里我们只需要一个for循环即可搞定：

for(i=1;i<=n;i++)
{
    a[step]=i;  //将i号扑克牌放入到第step个盒子中 
}

在这里数组a是用来表示小盒子的，变量step表示当前正处在第step个小盒子面前。a[step]=i；就是将第i号扑克牌放入到第step个盒子中。这里有一个问题那就是，如果一张扑克牌已经放到别的盒子中了，那么此时就不能再放入同样的扑克牌到当前的小盒子中，因为此时手中已经没有这张扑克牌了。因此需要一个数组book来标记哪些牌已经使用了：

for(i=1;i<=n;i++)
{
    if(book[i] == 0) //book[i]等于0表示i号扑克牌仍然在手上 
    {
        a[step]=i;  //将i号扑克牌放入到第step个盒子中
        book[i]=1;  //将book[i]设为1，表示i号扑克牌已经不在手上了 
    }
}

2，,接下来我们继续处理step+1个小盒子。那么如何处理step+1个盒子呢？这将是我们接下来要解决的问题

（1）首先我们把刚才处理第step个小盒子的代码封装成一个函数

void dfs(int step)  //step表示现在站在第几个盒子面前 
{
    for(i=1;i<=n;i++)
    {
        //判断扑克牌i是否还在手上 
        if(book[i] == 0) //book[i]等于0表示i号扑克牌仍然在手上 
        {
            a[step]=i;  //将i号扑克牌放入到第step个盒子中
            book[i]=1;  //将book[i]设为1，表示i号扑克牌已经不在手上了 
        }
    }
}

（2）接下来的事情就很好办了。在处理完第step个小盒子之后，紧接着处理第step+1个小盒子，处理第step+1的小盒子的方法就是dfs(step+1)

void dfs(int step)  //step表示现在站在第几个盒子面前 
{
    for(i=1;i<=n;i++)
    {
        //判断扑克牌i是否还在手上 
        if(book[i] == 0) //book[i]等于0表示i号扑克牌仍然在手上 
        {
            a[step]=i;  //将i号扑克牌放入到第step个盒子中
            book[i]=1;  //将book[i]设为1，表示i号扑克牌已经不在手上了
            dfs(step+1);  //这里通过函数的递归调用来实现（自己调用自己）
            book[i]=0;  //将刚才的扑克牌收回，才能进行下一次尝试（这一步很关键） 
        }
    }
}

上面代码中的book[i]=0十分重要，这句话的作用是将小盒子中的扑克牌收回，因为在一次摆放尝试结束返回的时候，如果不把刚才放入小盒子中的扑克牌收回，那将无法再进行下一次摆放。

（3）最后一个待解决的问题：什么时候该输出一个满足要求的序列？

其实当我们处理到第n+1个小盒子的时候（即step=n+1），那么说明前n个盒子都已经放好扑克牌了，这里就将1~n个小盒子中的扑克牌编号打印出来即可。

注意：打印完毕一定要立即return，不然这个程序就会永无止尽地运行下去，想一想为什么？

三、完整代码

#include<stdio.h>
int a[10],book[10],n;  //C语言的全局变量在没有赋值以前默认为0，因此这里的book数组无需全部再次赋初始值0
void dfs(int step)  //step表示现在站在第几个盒子面前 
{
    int i;
    if(step == n+1)
    {
        //输出一种排列（1~n号盒子中的扑克牌编号) 
        for(i=1;i<=n;i++)
            printf("%d",a[i]);
        printf("
");
        
        return;  //返回之前的一步（最近调用dfs函数的地方） 
    }
    //此时站在第step个盒子面前，应该放哪张牌呢
    //按照1、2、3...n的顺序一一尝试 
    for(i=1;i<=n;i++)
    {
        //判断扑克牌i是否还在手上 
        if(book[i] == 0) //book[i]等于0表示i号扑克牌仍然在手上 
        {
            a[step]=i;  //将i号扑克牌放入到第step个盒子中
            book[i]=1;  //将book[i]设为1，表示i号扑克牌已经不在手上了
            dfs(step+1);  //这里通过函数的递归调用来实现（自己调用自己）
            book[i]=0;  //将刚才的扑克牌收回，才能进行下一次尝试（这一步很关键） 
        }
    }
    return;
}

int main()
{
    scanf("%d",&n);  //输入的时候要注意n为1~9整数 
    dfs(1);  //首先站在1号小盒子面前 
    getchar();getchar();
    return 0;
} 

刚才例子的代码虽然不超过20行，却饱含深度优先搜索（Depth First Search,DFS）的基本模型。

理解深度优先搜索的关键在于解决“当下该如何做”（==下一步该怎么做）。

下面的代码就是深度优先搜索的基本模型：

void dfs(int step)
{
    //判断边界 
    for(i=1;i<=n;i++)  //尝试每一种可能 
    {
        dfs(step+1)  //继续下一步 
    }
    return;  //返回 
}

每一种尝试都是一次“扩展”。

每次站在一个盒子面前的时候，其实都有n种扩展方法，但是并不是每种扩展都能够成功。

四、再举个例子

【】【】【】+【】【】【】=【】【】【】，将数字1~9分别填入9个【】中，每个数字智能使用一次使得等式成立。

 http://www.cnblogs.com/OctoptusLian/p/6675885.html

分析：这就相当于你手中有编号为1~9的九张扑克牌，然后将这九张扑克牌放到九个盒子中，并使得以上等式成立。

转述——> 判断 a【1】*100+a【2】*10+a【3】+a【4】*100+a【5】*10+a【6】== a【7】*100+a【8】*10+a【9】 这个等式是否成立。

#include<stdio.h>
int a[10],book[10],total=0;
void dfs(int step)  //step表示现在站在第几个盒子面前
{
    int i;
    if(step==10)
    {
        if(a[1]*100+a[2]*10+a[3]+a[4]*100+a[5]*10+a[6]==a[7]*100+a[8]*10+a[9])
        {
            /*如果满足要求，可行解+1，并打印这个解*/ 
            total++;
            printf("%d%d%d+%d%d%d=%d%d%d
",a[1],a[2],a[3],a[4],a[5],a[6],a[7],a[8],a[9]);
        }
        return;  //返回之前的一步（最近调用的地方） 
    }
    /*站在第step个盒子面前，按照1、2、3...n的顺序一一尝试*/
    for(i=1;i<=9;i++)
    {
        if(book[i]==0)
        {
            a[step]=i;
            book[i]=1;
            dfs(step+1);
            book[i]=0;
        }
    } 
    return;
} 

int main()
{
    dfs(1);
    printf("total=%d",total/2);
    return 0;
}

 五、感受

深度优先搜索，在我的理解看来就是有一种不撞南墙不回头的倔强性格，一定要“碰壁”，才肯回头。

感触颇深的是那道等式题，第一次看到想着是九个for循环遍历一遍，很累，而且容易出错，而dfs无疑减轻了这样的运算负担。