"Coding Interview Guide" -- 阶乘

【题目】

　　给定一个非负整数N，返回N!结果的末尾为0的数量

　　例如，3! = 6，结果末尾没有0，则返回值为0；5!=120，结果的末尾有1个0，所以返回值为1； 1000000000!，结果的末尾有249999998个0，返回249999998

【分析】

　　N! = N*(N-1)*(N-2)*...*2*1

　　可能最直接的方法是直接算出N的阶乘的值，但是阶乘的结果通常非常大，当N=13时，就会发生溢出，所以直接计算阶乘值的方法不合适。

　　考虑在什么情况下会产生0，1*0 = 0(0! = 1，1! = 1)，2*5 = 10，4*5 = 2*(2*5) = 20，...，4*25  = (2*5)*(2*5) = 100 ，...，由此可见，N中具有因子2和5的时候就会产生0，有多少对2和5就会产生多少个0，而N中因子2的个数始终是不少于5的个数，所以，只需要统计N的阶乘中具有多少个因子5，就能知道N的阶乘结果的末尾有多少个0 

　　那么该如何求N的阶乘中有多少个因子5呢，有两个方法：

　　1、N的阶乘等于1～N这个序列的乘积，1～N中有的数含有因子5，有的数不含。计算1～N中所有含有因子5的数总共含有有多少个因子5，结果即为0的个数

public int zeroNum(int num)
{
    if(num <= 0) { return 0; }

    int res = 0;
    int cur = 0;
    for(int i = 5; i <= num; i = i + 5)  //只需计算含有因子5的数所包含的因子5的具体个数
    {
        cur = i;
        while(cur % 5 == 0)
        {
            res++;
            cur /= 5;
        }
    }
    return res;
}

　　对代码中的每一个数i来说，计算其所含有的因子5的个数的时间复杂度是log(i)(以5为底)，i=N时为log(N)，一共有N个数，所以时间复杂度为O(NlogN)

　　2、对于N!，它由1～N的乘积得到，即N!的因子为1，2，3，4，5，6，7，8，9，10...，15...，20...，25...，30...，35...，40...，45...，50...，55...，60...，

65...，70...，75...，80...，85...，90...，95...，100...，105...，110...，115...，120...，125...，130...

　　　 观察5，10，15，20，25，30，35...，100，105，110，115，120，125，130等发现每5个含有0个因子5的数组成一组，第5个数就含有1个因子5；再观察25，50，75，100，125等发现每5个含有1个因子5的数组成一组，该组的第5个数就含有2个因子5；再观察125，250，375等发现每5个含有2个因子5的数组成一组，该组的第5个数就含有3个因子5；以此类推，每5个含有i个因子5的数组成一组，该组的第5个数就含有(i+1)个因子5...(注意上面说的是含有，是>=的意思，而不是只含有)

　　　所以，N!的结果中0的个数 = N/5 + N/(5^2) + N/(5^3) + ... + N/(5^i)(i一直增长，直到(5^i) > N)  (其中N/5表示每5个数就会有1个因子5；N/(5^2)表示每5^2个数就会有1个因子5，本来按照上面的分析是有2个的，但因为其中的一个因子5已经在N/5中计算过了，所以此处不必重复计算，N/(5^3)表示每5^3个数就会有1个因子5，本来应该有3个的，但是其中的2个已经在N/5和N/(5^2)中计算过...)

public int zeroNum(int num)
{
    if(num <= 0) { return 0; }

    int res = 0;
    while(num != 0)         // N/5 + N/(5^2) + N/(5^3) + ... + N/(5^i)，直到(5^i) > N
    {
        num /= 5;
        res += num;
    }
    return res;
}        

　　方法2的时间复杂度为O(logN)(以5为底)　　

来源：左程云老师《程序员代码面试指南》