上下界网络流总结

首先任何有下界的边都要先记录下界的入度和与出度和，记作$in$和$out$。
然后对于点$i$：
如果$in[i]>out[i]$，则建边$(ss o i,in[i]-out[i])$
如果$in[i]<out[i]$，则建边$(i o tt,out[i]-in[i])$
下面再分情况讨论其他的建边。

# Case #1:无源汇上下界可行流
跑$ss$到$tt$的最大流。

结论：如果能使$ss$临边全部满流就存在可行流。对应每条边在原图的流量是下界+流过去的流量。

# Case #2:有源汇上下界可行流
建边$(t o s,+infty)$，跑$ss$到$tt$的最大流。

结论同上：如果能使$ss$临边全部满流就存在可行流。原图的总流量就是边$(t o s,+infty)$的流量。对应每条边在原图的流量是下界+流过去的流量。

# Case #3:有源汇上下界最大流
建边$(t o s,+infty)$，跑$ss$到$tt$的最大流。记边$(t o s,+infty)$的流量为$f1$

断掉边$(t o s,+infty)$，跑$s$到$t$的最大流$f2$。

结论同上：如果能使$ss$临边全部满流就存在可行流。原图的总流量就是$f1+f2$。对应每条边在原图的流量是下界+流过去的流量。

# Case #4:有源汇上下界最小流
先不建边$(t o s,+infty)$，跑$ss$到$tt$的最大流看是否可行。

然后建边$(t o s,+infty)$，跑$ss$到$tt$最大流。此时边$(t o s,+infty)$的流量就是原图最小流。对应每条边在原图的流量是下界+流过去的流量。