BZOJ1997 HNOI2010 平面图判定 planar （并查集判二分图）

题意

判断一个存在哈密顿回路的图是否是平面图。
$nle200,mle10000$

题解

如果一定存在一个环，那么连的边要么在环里面要么在外面。那么把在同侧会矛盾的边之间连边，如果是一个二分图就是平面图。

有问题的是边数是$O(m^2)$的。但是可以发现当$m>n*3-6$的时候一定形成不了平面图。所以就判一下，如果小于等于就$O(m^2)$做。

证明：先画出一条环，有$n$条边，然后这个环的一个点向非相邻的$n-3$个点连接$n-3$条边可以保证两两不相交，外面一侧如此，故如果边数$m>n*3-6$，就直接判断$NO$即可。保证了复杂度。

判二分图的方法可以用带权并查集或者直接染色，这里写的是带权并查集。

CODE

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
inline void rd(int &x) {
	char ch; for(;!isdigit(ch=getchar()););
	for(x=ch-'0';isdigit(ch=getchar());)x=x*10+ch-'0';
}
const int MAXN = 205;
const int MAXM = 10005;
int n, m, u[MAXM], v[MAXM], seq[MAXN], id[MAXN];
int d[MAXM], fa[MAXM];
int find(int x) {
	if(x != fa[x]) {
		int old = fa[x];
		fa[x] = find(fa[x]);
		d[x] ^= d[old];
	}
	return fa[x];
}
int main() {
	int T; rd(T); while(T--) {
		rd(n), rd(m);
		for(int i = 1; i <= m; ++i) rd(u[i]), rd(v[i]);
		for(int i = 1; i <= n; ++i) rd(seq[i]), id[seq[i]] = i;
		if(m > 3*n-6) puts("NO");
		else {
			bool flg = 1;
			for(int i = 1; i <= m && flg; ++i) {
				fa[i] = i; d[i] = 0;
				int l = min(id[u[i]], id[v[i]]);
				int r = max(id[u[i]], id[v[i]]);
				for(int j = 1; j < i && flg; ++j)
					if(id[u[j]] != l && id[u[j]] != r && id[v[j]] != l && id[v[j]] != r && ((l <= id[u[j]] && id[u[j]] <= r)^(l <= id[v[j]] && id[v[j]] <= r))) {
						int u = find(i), v = find(j);
						if(u == v) flg &= (d[i] != d[j]);
						else fa[u] = v, d[u] = d[i] ^ d[j] ^ 1;
					}
			}
			puts(flg ? "YES" : "NO");
		}
		
	}
}