一个最短路径问题
假设你在M点，需要先到河边再回到C点，如何规划路线最短？
假设：
河流曲线满足方程 (g(x,y) = 0)（例如 如果它是一个圆：(g(x,y)=x^2+y^2-r^2=0)），用P表示河边上的任意 (P(x,y)) 点，用 (d(M,P)) 表示M,P之间距离，那么问题可以描述为：$max f(P) $, 约束于 (g(P)=0)。(g(x,y)=x^2+y^2-r^2=0)
如何求解问题？
1. 从几何意义中获得灵感：
首先，(f(P)) 是一个标量（只有大小没有方向），那么在上图的二维空间中必然存在了一个标量场 (f(P))，即对于每一个点P都对应着一个 (f(P))值，它代表经过该点的路径总和是多少。
如果我们画出它的等值线（场线)，就会发现它呈椭圆向外辐射：
显然，(f(P))的等值线与河边曲线的交点P即为我们想求的点。
那么问题来了: 这样的点满足何种性质？（如果没有性质也就无法列出关系式进行求解，但是这么特殊的点极有可能存在良好某种特性）
最直观的性质： 等值线（椭圆）在P点的法向量n与河边曲线的法向量m平行：
(n= lambda m)
而在多元微积分中，一个函数h在某一点P的梯度是点P所在等值线（二维）或等值面（三维）的法向量，即(n= abla h(P)) ,所以对于函数 f , g ：
(n = lambda m Rightarrow abla f(P) = lambda \, abla g(P) Rightarrow egin{pmatrix} f_{x}\ f_{y} end{pmatrix} = lambdaegin{pmatrix} g_{x}\ g_{y} end{pmatrix} Rightarrow f_{x} = lambda g_{x} ; (1) \ f_{y} = lambda g_{y} ; (2))
即由相交点的性质我们得到了2个关系式（因为是二维平面，对于三维则可以得到三个关系式，以此类推），
再加上我们的约束条件：
(g(P)=g(x,y)=0 ; (3))
一共三个关系式。由线性代数中知识可知3个关系式，3个未知量，((x,y,lambda)) 极可能有唯一解，当然也不排除会出现多个解甚至无穷多解 （例如下图河边是一条直线，且M,C就在河边时）。
2. 从数学公式中获得灵感
仍然是问题：
(max f(P) = d(M,P) + d(P, C))
(subject to: g(P) = 0)
我们知道在多元微积分中如果想求一个函数的极值一般的做法是把 ( abla f(P)=0) ，如何把这个公式和我们的约束条件 (g(P)=0) 统一在一起呢？
答案是引入(lambda) 并且定义一个新的函数 (F(P,lambda)=f(P)- lambda g(P)) ,
令： ( abla F(P, lambda) = abla F(x,y, lambda)= egin{pmatrix}F_{x} \F_{y} \F_{lambda}end{pmatrix}=0) 与我们要求解的优化问题是等价的。
(F_{x} = 0 Rightarrow f_{x} - lambda g_{x} = 0 Rightarrow f_{x} = lambda g_{x} ; (1) \F_{y} = 0 Rightarrow f_{y} - lambda g_{y} = 0 Rightarrow f_{y} = lambda g_{y} ; (2)\g(x,y) = 0 ; (3))