多重背包：
基本思路：
先来看一个引例：有N种物品和一个容量为V的背包。第i种物品最多有n[i]件可用，每件费用是c[i]，价值是w[i]。求解将哪些物品装入背包可使这些物品的费用总和不超过背包容量，且价值总和最大。这种类型的背包问题的特点是：每件物品的件数有限。
和完全背包问题很类似。基本的方程只需将完全背包问题的方程略微一改即可，因为对于第i种物品有n[i]+1种策略：取0件，取1件„„取n[i]件。令f[i][v]表示前i种物品恰放入一个容量为v的背包的最大权值，则有状态转移方程：f[i][v]=max{f[i-1][v-k*c[i]]+k*w[i]|0<=k<=n[i]} 完全背包中k的范围是（0<=k<=v/c[i]）. 复杂度是O(V*Σn[i]),
代码与完全背包的区别仅在内部循环上由
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1
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for(k = 1; k <= j/weight[i]; ++k) |
变为
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1
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for(k = 1; k <=n[i] && k<=j/weight[i]; ++k) |
多重背包二进制拆分实现
跟完全背包一样的道理，利用二进制的思想将n[i]件物品i拆分成若干件物品，目的是在0-n[i]中的任何数字都能用这若干件物品代换，另外，超过n[i]件的策略是不允许的。
方法是将物品i分成若干件，其中每一件物品都有一个系数，这件物品的费用和价值都是原来的费用和价值乘以这个系数，使得这些系数分别为1,2,4,…,2^(k-1),n[i]-2^k+1，且k满足n[i]-2^k+1>0的最大整数。例如，n[i]=13，就将该物品拆成系数为1、2、4、6的四件物品。分成的这几件物品的系数和为n[i]，表明不可能取多于n[i]件的第i种物品。另外这种方法也能保证对于0..n[i]间的每一个整数，均可以用若干个系数的和表示。
1 #include <iostream> 2 using namespace std; 3 4 /* 多重背包 二进制拆分 5 * Time Complexity 大于O(N*V) 6 * Space Complexity O(N*V) 7 * 设 V <= 200 N <= 10 ，拆分后 物品总数 < 50 8 * 每件物品有 log n[i]种状态 9 */ 10 11 int maxV[201]; 12 int weight[50]; /* 记录拆分后物体重量 */ 13 int value[50]; /* 记录拆分后物体价值 */ 14 int V, N; 15 16 void main() 17 { 18 int i, j; 19 scanf("%d %d",&V, &N); 20 int weig, val, num; 21 int count = 0; 22 23 for(i = 0; i < N; ++i) 24 { 25 scanf("%d %d %d",&weig,&val,&num); 26 27 for(j = 1; j <= num; j <= 1) // 二进制拆分 28 { 29 weight[count] = j * weig; 30 value[count++] = j * val; 31 num -= j; 32 } 33 if(num > 0) 34 { 35 weight[count] = num * weig; 36 value[count++] = num * val; 37 } 38 } 39 for(i = 0; i < count; ++i) // 使用01背包 40 { 41 for(j = V; j >= weight[i]; --j) 42 { 43 int tmp = maxV[j-weight[i]] + value[i]; 44 maxV[j] = maxV[j] > tmp ? maxV[j] : tmp; 45 } 46 } 47 printf("%d",maxV[V]); 48 } 49 50 /* 51 【输入样例】 52 4 20 53 3 9 3 54 5 9 1 55 9 4 2 56 8 1 3 57 【输出样例】 58 47 59 */
下面给出O(log amount)时间处理一件多重背包中物品的过程，其中amount表示物品的数量：
1 void multiplepack(int cost, int weight, int amount) 2 { 3 if(cost*amount>=V) 4 cmpletepack(cost,weight); 5 else 6 { 7 int k=1; 8 while(k<amount) 9 { 10 zeroonepack(k*cost,k*weight); 11 amount-= k; 12 k=k*2; 13 } 14 zeroonepack(amount*cost,amount*weight); 15 } 16 }
总结完啦~要回家了已经做不进去题了~噶呜~但我还在坚持每天更新博客~*。*