费马小定理

内容

若(p)为质数，(a)为正整数，且(gcd(a,p)=1),则(a^{p-1}≡1pmod p)

证明

首先我们要证明三个小性质

①(gcd((p-1)!,p)=1)

因为p为质数，所以(gcd(i,p)=1(1 <= i < p , i)为整数())

由此可推出①

②没有一个整数 (a) (不是(p)的倍数)和整数 (i) ,使得(a * i = 0 pmod p)，

因为(gcd(a,p) = 1)，所以(gcd(i * a,p) = 1)

由此可推出②

③(i∗a)中没有任何两个数在模(p)意义下同余

设(a=b∗p+r)，则 (gcd(i * r,p) = 1) ,没有一个(i∗r)是(p)的倍数( ② )。

假设有两个(i∗r)在模(p)意义下同余，即设(c ∗ r≡d ∗ rpmod p(c<d))。

那么((d − c) ∗ r ≡ 0 pmod p)，即$p | (d−c) ∗ r

由于 (1≤d−c≤p−1), 这与没有一个(i ∗ r)是(p)的倍数矛盾。

所以(i∗r)中没有任何两个数在模(p)意义下同余得证。

由此可推出③

最终证明

由②③可得(i ∗ a % p) 之后一定是(1,2,3,…,p−1)的一个排列，也就是：

(a ∗ 2a ∗ 3a ∗ ... ∗ (p−1) * a ≡ 1 ∗ 2 ∗ 3 ∗ ... ∗ (p−1) pmod p)

((p-1)! * a^{p-1} ≡ (p-1)!pmod p)

两边同除((p - 1)!) , 即得：

(a^{p-1}≡1pmod p)