想写什么写什么，学了什么写什么，可能对其他人毫无价值。
零、引
什么是线性代数？
不知道。
感性理解就是：二喜哥的回答(安利)。
理性理解就是：百度百科。
百度百科老谜语人了。
一、矩阵
当我最开始学矩阵的时候，就只记住了乘法可以用来矩阵加速，并且规则是左行右列，也算是个小口诀吧。
现在我知道了，矩阵可以用来表示向量！
比如一个 (n imes m) 的矩阵可以用来表示 (n) 维的行向量或是 (m) 维的列向量。
特殊的， (n=m) 的矩阵叫做方阵。
而这些向量可以看作高维空间的基底。
二、矩阵的初等变换
1.交换行(列)
交换两个向量。
2.将某行(列)扩大 (k) 倍
相当于向量扩倍，显然方向不会改变，所以可以认为是线性变换。
3.将某行(列)的 (k) 倍加到另一行(列)
显然，该是基底的还是基底。
三、行列式 det
只有方阵才存在行列式，矩阵 (A) 的行列式用 (det(A)) 或者 (|A|) 表示。
1.线性相关与无关
有混子就是线性相关，表示某些向量可以填上一些系数来表示其它向量，而被表示的向量其实就是混子。
没有混子就是线性无关，在这个大家庭中，人人都有自己的作用。
2.行列式表示什么
上文提到，向量可以看作是基底，而行列式有很多作用，比如它如果是零，那么表示基底当中有混子！
可以用二维中三点共线，三维中四点共面来帮助理解。本来我可以表示更高维度的东西，但是我们当中有混子，所以只能降维度。而求行列式的过程和高斯消元前半部分不谋而合，行列式为 (0) 即出现了自由变元，也可以解释降维。
3.逆矩阵
如果行列式为 (0)，表示降维了，你无法得到它的逆矩阵，也就是说降维后你无法还原出它原来的样子。
否则你可以求出它的逆矩阵。
满足这样一个关系：
(left[egin{matrix} 原 矩 阵 end{matrix} ight] imes left[egin{matrix} 逆 矩 阵 end{matrix} ight] = left[egin{matrix} 单 位 矩 阵 end{matrix} ight])
4.行列式的变与不变
对一个矩阵转置，行列式不变。
初等变换 (1) 使行列式变号。
初等变换 (2) 使行列式扩大 (k) 倍。
初等变换 (3) 不会改变行列式。
5.行列式计算
(1).高斯消元
消成上三角然后将主对角线乘起来即可。
尽管它跟高斯消元没有半毛钱关系，但是它们却是同一个实现方法，所以还是把这个方法叫做高斯消元。
(2).矩阵乘法
①简单情况
对于 (A,B) 两个方阵，有：
(|AB|=|A| imes |B|.)
当然它们得是同阶的。
②复杂情况
建议先把下面的 四、秩 rank 看了。
即 (A,B) 为矩阵，其中 (A) 为 (s imes n) 的矩阵，(B) 为 (n imes s) 的矩阵。((s<n))
索引：(s>n) 的情况在下文的 四、秩 3.不等式们 中有提到。
介绍一个新工具：( t Binet-Cauchy) 定理。
简单来讲，就是讲 (A,B) 的 (s imes s) 的子矩阵依次全部搞出来，然后对应两两相乘后求行列式，再把所有的都加起来就得到了 (|AB|)。
两两相乘求行列式可以用简单情况的方法做。
四、秩 rank
1.什么是秩？
我们可以理解为一个矩阵中向量最高可以表示的维度。
因此行向量的秩称为行秩，列向量的秩称为列秩，两者一定相等，称为该矩阵的秩。
比如一个 (3 imes 3) 的矩阵，这三个向量如果可以组成三维空间，那么秩为 (3)。
如果落在一个平面内，那么秩为 (2)。
更混的，如果它们全部在一条直线上，秩为 (1)。
2.满秩
如果这个矩阵当中没有混子，也就是没有降维，则称这种情况为满秩。
即矩阵 (A) 满秩的充要条件为 (|A| ot= 0)。
3.不等式们
(1).
由上面的定义，我们可以轻松得到这样一个不等式：
对于一个 (n imes m) 的矩阵 (A)，(rank(A)le min{n,m}.)
(2).
(rank(AB)le min{rank(A),rank(B)}.)
证明(不是很严谨)：
令 (C=AB)，将 (A) 看做多个向量，(B) 看做常数，于是乎 (C) 可以由 (A) 线性表达得到，所以 (rank(C)le rank(A))；
(C^T=(AB)^T=B^TA^T)，而转置后秩不变，所以 (rank(C)=rank(C^T)le rank(B^T)=rank(B).)
好像也不是那么不严谨。
因此我们可以证明这样一个小结论：
若有一个 (s imes n) 的矩阵 (A) 和 (n imes s) 的矩阵 (B(s>n))，那么 (|AB|=0)，即不满秩。
五、维数 dim
与秩进行区分，秩是向量可以表示的最高维度，或者说是其生成的空间的维度。
维数是基底中向量的个数。
两者无本质联系。
六、ker 和 im
咕咕咕~