前言
大概是去年没学数列的时候看到的题，现在重新看发现我当时是个sb。
WARNING: 式子都是从草稿纸上抄的，错了别找我。但是思路肯定是对的。
题目
\(a_0=-3,a_1=-6,a_2=-12,a_n=3a_{n-1}+a_{n-2}-3a_{n-3}+3^n\)，取模 \(p=10^9+7\)。
\(T\) 组随机询问 \(n_i\)，输出所有答案异或和。
\(1\le T\le 2\times 10^7;0\le n_i<2^{64}.\)
讲解
当年的我请教了各路神仙，试图学习了包括特征根在内的各种方法 当然最后都失败了
什么毒瘤题，不做了！
现在一看：诶，小清新数学题！
\(a_n=3a_{n-1}+a_{n-2}-3a_{n-3}+3^n\)
\(\Rightarrow a_n-a_{n-2}=3(a_{n-1}-a_{n-3})+3^n\)
记 \(b_n=a_{n+2}-a_{n},b_{n+1}=3b_{n}+3^{n+3}\)。
\(\Rightarrow \frac{b_{n+1}}{3^{n+1}}=\frac{b_n}{3^n}+3^2\) (这里是经典套路)
记 \(c_{n} = \frac{b_n}{3^n}\)，则有 \(c_{n+1}=c_{n}+9,c_0=\frac{b_0}{3^0}=a_2-a_0=-9\) (怀疑出题人没学过数列，因为数列没有第 \(0\) 项)
\(\Rightarrow c_n = 9n-9,b_n = (9n-9)\times 3^{n}\)
\(a_n = b_{n-2}+b_{n-4}+...+b_{n\%2}+a_{n\%2}\) (这里写mod太丑，我换成了%)
其实讲到这里已经差不多了，但是我还是想讲一下 \(\sum b_i\) 怎么算。
其实可以发现 \(\sum b_i\) 后半部分其实就是 \(-9\times \sum 3^i\) 的形式，可以直接用等比数列求和公式算，稍微有点麻烦的是前面 \(\sum n\times 3^n\) 的形式的式子。
令 \(T_n = 1\times 3^1+2\times 3^2+...+n\times 3^n\)，则 \(T_1=3\)
\(\Rightarrow T_{n+1}=3T_{n}+(3+3^2+...+3^{n+1})=3T_n+\frac{3}{2}\times (3^{n+1}-1).\)
\(\Rightarrow \frac{T_{n+1}}{3^{n+1}}=\frac{T_n}{3^n}+\frac{3}{2}\times (1-\frac{1}{3^{n+1}})\) (梅开二度)
令 \(Q_n=\frac{T_n}{3^n}\)，则 \(Q_1=1\)
\(\Rightarrow Q_{n+1}=Q_n+\frac{3}{2}\times (1-\frac{1}{3^{n+1}})\)
\(\Rightarrow Q_n=1+\frac{3}{2}(n-1-(\frac{1}{3^2}+\frac{1}{3^3}+...+\frac{1}{3^{n}}))=\frac{3}{2}(n-\frac{1}{6}(1-\frac{1}{3^{n-1}})))-\frac{1}{2}=\frac{3}{2}n+\frac{3}{4}\times \frac{1}{3^n}-\frac{3}{4}\)
\(\Rightarrow T_n=(\frac{3}{2}n+\frac{3}{4}\times \frac{1}{3^n}-\frac{3}{4})\times 3^n=(\frac{3}{2}n-\frac{3}{4})\times 3^n+\frac{3}{4}\)
好了，只需要加上系数和亿点细节就行了。
由于 \(n\) 特别大，所以要用费马小定理+光速幂，时间复杂度 \(O(\sqrt{p}+T)\)。
也许还需要分奇偶讨论(逃
代码
无码 /se