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  • [HNOI2009]最小圈(分数规划+判定负环)

    传送门

    题意:在带权有向图中,求图中所有环的平均值的最小值(环的平均值即构成环的所有边的边权的平均值).

    分析:理解题意,我们要求的实际上就是(frac{sum_{i=1}^k{c_i}}{k})

    (x=frac{sum_{i=1}^k{c_i}}{k})

    整理得(sum_{i=1}^k{c_i}-k*x=0)

    继续得(sum_{i=1}^k(c_i-x)=0)

    (f(x)=sum_{i=1}^k(c_i-x))

    f(x)随x增大而减小,即f(x)是一个递减函数,既然具有单调性,就要想到二分答案.

    我们直接二分要求的答案x,check时把每条边的边权看作(c_i-x),如果此次二分的值合法,即(frac{sum_{i=1}^k{c_i}}{k}<x),根据上面的推导得(sum_{i=1}^k(c_i-x)<0),即图中存在一个负环.

    所以本题就转换为了二分x,把每条边权看作(c_i-x),然后判断图中是否存在负环.

    我写的是dfs+spfa判负环(如果不会判负环,请看广告).

    注意本题是实数域上的二分答案.

    int n,m,visit[3005];
    int tot,head[3005],nxt[10005],to[10005];
    double eps=1e-10;
    //要求保留8位小数,二分精度可以设置为1e-(8+2)
    double w[10005],dis[3005];
    void add(int a,int b,double c){
        nxt[++tot]=head[a];
        head[a]=tot;
        to[tot]=b;
        w[tot]=c;
    }
    bool dfs_spfa(int x,double mid){
        visit[x]=1;
        for(int i=head[x];i;i=nxt[i]){
    		int y=to[i];
    //记得边权看作w[i]-mid 
    		if(dis[y]>dis[x]+w[i]-mid){
    	    	dis[y]=dis[x]+w[i]-mid;
    	    	if(visit[y]||dfs_spfa(y,mid))
            		return 1;
    		}
        }
        visit[x]=0;
        return 0;
    }
    bool check(double mid){
        memset(visit,0,sizeof(visit));
        for(int i=1;i<=n;i++)dis[i]=0;
        for(int i=1;i<=n;i++)
    		if(dfs_spfa(i,mid))return 1;
        return 0;
    }
    int main(){
        scanf("%d%d",&n,&m);
        for(int i=1;i<=m;i++){
    		int a,b;double c;
    		scanf("%d%d%lf",&a,&b,&c);
    		add(a,b,c);
        }
        double l=-1e9,r=1e9,mid;
    //注意一下二分边界,因为环的最小平均值可能为负数
        while(l+eps<r){//实数二分答案模板
    		mid=(l+r)/2.0;
    		if(check(mid))r=mid;
    		else l=mid;
        }
        printf("%.8lf
    ",r);
        return 0;
    }
    
    
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