矩阵加速数列(学习笔记)

当我们遇到这样一类问题:已知递推式,但数据范围太大,直接递推下去肯定会超时,例如求斐波拉契数列的第n项((n<=10^{18}))等等.这是我们就需要用到矩阵来加速递推,优化时间复杂度.

步骤和思想都很简单.以求斐波拉契数列的第n项为例.我们已知递推式(f(n)=f(n-2)+f(n-1)),把等式两边各抽象为一个矩阵,即我们已知(S(n-1)=[f(n-1),f(n-2)]),要求出(S(n)=[f(n),f(n-1)]),那么(S(n-1))如何变换到(S(n))呢?可以乘上转移矩阵(T= [egin{matrix} 1 & 1 \1 & 0 end{matrix}]),这里可以自己根据矩阵乘法运算法则手玩出来.

于是就可以设出初始矩阵(S(0)),然后(S(n)=S(0)*T^n),显然(T^n)可以通过矩阵快速幂来求得.my题解

至于细节和实现直接结合模板题来看.我先说明一下,每个人的矩阵可能会有一些写法上的差别.

洛咕

题意:(a[1]=a[2]=a[3]=1);(a[x]=a[x-3]+a[x-1] (x>3)).求a数列的第n项对1e9+7取余的值.

分析:模板题.已知矩阵为(S(n-1)=[f(n-1),f(n-2),f(n-3)]),目标矩阵为(S(n)=[f(n),f(n-1),f(n-2)]),通过手玩可得转移矩阵(T=[egin{matrix} 1 & 1 & 0\0 & 0 & 1\1 & 0 & 0end{matrix}]).

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
inline int read(){
    int s=0,w=1;char ch=getchar();
    while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-') w=-1;ch=getchar();}
    while(ch>='0'&&ch<='9'){s=s*10+ch-'0';ch=getchar();}
    return s*w;
}
const int mod=1e9+7;
struct matrix{//这是一个板子,重载了'*'
    int a[3][3];
    matrix operator *(matrix b){
	matrix c;
	for(int i=0;i<3;i++)
	    for(int j=0;j<3;j++)
			c.a[i][j]=0;
//一定要记得初始化
	for(int i=0;i<3;i++)
	    for(int j=0;j<3;j++)
			for(int k=0;k<3;k++)
		    	c.a[i][j]=(c.a[i][j]+1LL*a[i][k]*b.a[k][j])%mod;
		return c;
    }
}S,T;
int main(){
    int Q=read();
    while(Q--){
		int n=read();
        if(n==1||n==2||n==3){
        	puts("1");
            continue;
        }
		n-=3;
//因为题目给了我们前三项,我们的初始矩阵就用前三项
//所以我们需要特判前三项,特判通过之后n=n-3
		S.a[0][0]=1;S.a[0][1]=1;S.a[0][2]=1;
//构建出初始矩阵
		T.a[0][0]=1;T.a[0][1]=1;T.a[0][2]=0;
		T.a[1][0]=0;T.a[1][1]=0;T.a[1][2]=1;
		T.a[2][0]=1;T.a[2][1]=0;T.a[2][2]=0;
//构建出转移矩阵
		while(n){if(n&1)S=S*T;T=T*T;n>>=1;}
//快速幂
		printf("%d
",S.a[0][0]);	
    }
    return 0;
}

洛咕

题意:求斐波那契数列的第n项.

分析:最开始那段文字已经写出来了.

const LL mod=1e9+7;
struct matrix{
    LL a[2][2];
    matrix operator *(matrix b){
		matrix c;
		for(int i=0;i<2;i++)
	    	for(int j=0;j<2;j++)
				c.a[i][j]=0;
		for(int i=0;i<2;i++)
	    	for(int j=0;j<2;j++)
				for(int k=0;k<2;k++)
		    		c.a[i][j]=(c.a[i][j]+1LL*a[i][k]*b.a[k][j])%mod;
		return c;
    }
}S,T;
int main(){
    S.a[0][0]=1;S.a[0][1]=1;
    T.a[0][0]=1;T.a[0][1]=1;T.a[1][0]=1;T.a[1][1]=0;
    LL n=read();
    if(n==1||n==2){puts("1");return 0;}
    n-=2;
    while(n){if(n&1)S=S*T;T=T*T;n>>=1;}
    printf("%lld
",S.a[0][0]%mod);
    return 0;
}

洛咕

题意:广义的斐波那契数列是指形如(a_n=p imes a_{n-1}+q imes a_{n-2})的数列.给定数列的两系数(p)和(q)，以及数列的最前两项(a_1)和(a_2),另给出两个整数(n)和(m)，试求数列的第(n)项(a_n)除以(m)的余数.

分析:按照步骤列出已知矩阵(S(n-1)=[f(n-1),f(n-2)]),目标矩阵(S(n)=[f(n),f(n-1)]),手玩出转移矩阵(T=[egin{matrix} p & 1 \q & 0 end{matrix}]).(有一个要注意的地方:初始矩阵中(f(n-2)=a_1,f(n-1)=a_2)).

LL p,q,a1,a2,n,m;
struct matrix{
    LL a[2][2];
    matrix operator *(matrix b){
		matrix c;
		for(int i=0;i<2;i++)
	    	for(int j=0;j<2;j++)
				c.a[i][j]=0;
		for(int i=0;i<2;i++)
	    	for(int j=0;j<2;j++)
				for(int k=0;k<2;k++)
		    		c.a[i][j]=(c.a[i][j]+1LL*a[i][k]*b.a[k][j])%m;
		return c;
    }
}S,T;
int main(){
    p=read();q=read();a1=read();a2=read();n=read();m=read();
    if(n==1){printf("%lld
",a1);return 0;}
    if(n==2){printf("%lld
",a2);return 0;}
//本题貌似没有构造需要特判的数据
    n-=2;//n还是要-2
    S.a[0][0]=a2;S.a[0][1]=a1;
    T.a[0][0]=p;T.a[0][1]=1;
    T.a[1][0]=q;T.a[1][1]=0;
    while(n){if(n&1)S=S*T;T=T*T;n>>=1;}
    printf("%lld
",S.a[0][0]%m);	
    return 0;
}