求(C_n^m mod p),(1≤m≤n≤10^{18}),(2≤p≤1000000),不保证p是质数.
分析:对于模数不是质数,但是可以分解成几个质数的乘积(唯一分解定理)的情况,与古代猪文这道题有点类似.古代猪文中我们直接求出了原式分别模分解出的质数之后的值,然后把这些值用中国剩余定理(CRT)合并.本题也可以采取类似方法,假设(p=p_1^{c_1}p_2^{c_2}...p_k^{c_k})于是题目转化为了求(frac{n!}{m!(n-m)!} mod p_i^{c_i}),但值得注意的是(p_i^{c_i})是质数的幂,而非质数.
现在我们来考虑如何求(frac{n!}{m!(n-m)!} mod p_i^{c_i}).因为模数不是质数，所以不能直接用逆元求，考虑是否能够把所有与(p_i^{c_i})不互质的数单独拎出来，对于(n!),提出一个数，总共有(frac{n}{p_i}),而剩下的能做贡献的只有([frac{n}{p_i}]!)(向下取整),对此进行递归求解即可.
接下来考虑如何处理不是(p_i)的倍数的数，直接算肯定会超时,考虑它具有循环节的这一特点，每一个循环节的余数都相同，故只需处理一个循环节，其他循环节直接调用结果即可，可能最后还会有一小部分不构成完整循环节,这一部分可以直接暴算.
#include<bits/stdc++.h>
#define LL long long
#define rg register
using namespace std;
inline LL read(){
LL s=0,w=1;char ch=getchar();
while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')w=-1;ch=getchar();}
while(ch>='0'&&ch<='9'){s=s*10+ch-'0';ch=getchar();}
return s*w;
}
inline LL ksm(LL a,LL b,LL c){
rg LL cnt=1;
while(b){
if(b&1)cnt=(1ll*cnt*a)%c;
a=(1ll*a*a)%c;
b>>=1;
}
return cnt;
}
inline void exgcd(LL a,LL b,LL &x,LL &y){
if(!b){x=1;y=0;return;}
exgcd(b,a%b,y,x);y-=(a/b)*x;
}
inline LL inv(LL a,LL b){//扩欧求逆元
rg LL x,y;exgcd(a,b,x,y);
return (x%b+b)%b;
}
inline LL CRT(LL x,LL p,LL mod){return inv(p/mod,mod)*(p/mod)*x;}
//中国剩余定理合并
inline LL fac(LL x,LL a,LL b){//处理阶乘的模
if(x==0)return 1;rg LL ans=1;
for(rg LL i=1;i<=b;i++)
if(i%a)ans*=i,ans%=b;
ans=ksm(ans,x/b,b);
for(rg LL i=1;i<=x%b;i++)
if(i%a)ans*=i,ans%=b;
return (1ll*ans*fac(x/a,a,b))%b;
}
inline LL C(LL n,LL m,LL a,LL b){
//求组合数模b,b即为pi^ci,a即为pi
if(n<m)return 0;
rg LL N=fac(n,a,b),M=fac(m,a,b),NM=fac(n-m,a,b),sum=0;
//分别求n!,m!和(n-m)! mod b的值
for(rg LL i=n;i;i/=a)sum+=i/a;
for(rg LL i=m;i;i/=a)sum-=i/a;
for(rg LL i=n-m;i;i/=a)sum-=i/a;
return 1ll*(N*ksm(a,sum,b))%b*(inv(M,b)*inv(NM,b))%b;
}
inline void exlucas(LL n,LL m,LL p){
rg LL M=p,ans=0;
for(LL i=2;i*i<=p;i++){//对p质因数分解
LL tot=1;//tot即为pi^ci
while(M%i==0)tot*=i,M/=i;
ans+=CRT(C(n,m,i,tot),p,tot),ans%=p;
//求出每个部分的值然后合并
}
if(M>1)ans+=CRT(C(n,m,M,M),p,M),ans%=p;
//可能最后还剩下了一个质数未分解出来
printf("%lld
",ans);
}
int main(){
rg LL n=read(),m=read(),p=read();
exlucas(n,m,p);
return 0;
}