Lucas定理是用来求$C(n,m) mod $ p,p为质数。
若P是质数,则对于任意整数1<=m<=n,有:
(C^m_n≡C^{m mod p}_{n mod p}*C^{m/p}_{n/p}(mod p))
也就是
(C(n,m)=C(n/p,m/p)*C(n mod p,m mod p) mod p)
也就是
(Lucas(n,m)mod p=C(n mod p,m mod p)*Lucas(n/p,m/p)mod p)
从这个公式我们可以看出我们需要求解的东西有:
1 组合数C(n,m)
而组合数公式(C^m_n=n!/(m!*(n-m)!)),所以
2 阶乘(线性递推)
由于p是素数,根据费马小定理,(m!*(n - m)!)关于p的逆元就是(m!*(n - m)!)的(p-2)次方,所以
3 逆元(线性递推)
4 快速幂
是不是要求解的东西比较多啊,但都是模板;
P3807 【模板】卢卡斯定理
给定(n,m,p(1le n,m,ple 10^5))
求(C_{n+m}^m) (mod) p,保证P为prime,C表示组合数;
这就是lucas定理的模板题,没有什么分析的了,把几个模板打上去就行了;
只有核心模板的代码
LL quickpow(LL a,int b){
LL cnt=1;
while(b){
if(b&1) cnt=cnt*a%p;
a=a*a%p;
b=b>>1;
}
return cnt;
}//快速幂
LL C(int a,int b){
if(a<0||b<0||a<b) return 0;
return 1ll*jc[a]*ny[b]%p*ny[a-b]%p;
}//组合数,jc[]表示阶乘,ny[]表示逆元
LL lucas(int a,int b){
if(a+b==0) return 1;
return 1ll*C(a%p,b%p)*lucas(a/p,b/p)%p;
}//卢卡斯定理
int main(){
T=read();
while(T--){
n=read();m=read();p=read();
jc[0]=ny[0]=1;
//线性递推初始化
for(LL i=1;i<=p-1;i++)
jc[i]=jc[i-1]*i%p;
//求1到p-1的阶乘
ny[p-1]=quickpow(jc[p-1],p-2);
//求p-1的逆元
for(LL i=p-2;i;i--)
ny[i]=ny[i+1]*(i+1)%p;
//线性递推求p-2到1的逆元
printf("%lld
",lucas(m+n,m));
}
return 0;
}