[atARC103D]Robot Arms

合法的必要条件是每个点两维坐标和奇偶性相同，同时这也是充分条件

令$d_{i}={2^{0},2^{1},...,2^{m-1}}$，归纳其可以走到任意满足$|x|+|y|<2^{m}$的$(x,y)$，考虑先确定其最后一步，即对于$|x|+|y|<2^{m+1}$，通过$d=2^{m}$使其走到$|x'|+|y'|<2^{m}$的位置

不妨假设$|x|<|y|$，则有$|x|<2^{m}$，然后令$y'=y-sign(y)cdot 2^{m}$，对$|y|$分类讨论：

1.$|y|<2^{m}$，此时$|x|+|y'|=|x|+2^{m}-|y|<2^{m}$

2.$|y|ge 2^{m}$，此时$|x|+|y'|=|x|+|y|-2^{m}<2^{m+1}-2^{m}=2^{m}$

还有初始条件，当$d={2^{0}}$，发现要保证$|x|+|y|=1$才合法，换言之若两个数和为偶数则不合法，对于这种情况，强制先走到$(1,0)$即可

由此，即证明上述结论，同时得出构造方法

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define N 1005
int n,x[N],y[N];
int sign(int k){
    if (k>0)return 1;
    return -1;
}
int main(){
    scanf("%d",&n);
    for(int i=1;i<=n;i++)scanf("%d%d",&x[i],&y[i]);
    int p=(abs(x[1]+y[1])&1);
    for(int i=2;i<=n;i++)
        if ((abs(x[i]+y[i])&1)!=p){
            printf("-1");
            return 0;
        }
    printf("%d
",(31+(!p)));
    for(int i=30;i>=0;i--)printf("%d ",(1<<i));
    if (!p){
        printf("1");
        for(int i=1;i<=n;i++)x[i]--;
    }
    printf("
");
    for(int i=1;i<=n;i++){
        for(int j=30;j>=0;j--){
            if (abs(x[i])<abs(y[i])){
                if (y[i]>0)printf("U");
                else printf("D");
                y[i]=y[i]-sign(y[i])*(1<<j);
            }
            else{
                if (x[i]>0)printf("R");
                else printf("L");
                x[i]=x[i]-sign(x[i])*(1<<j);
            }
        }
        if (!p)printf("R");
        printf("
");
    }
}